Как доказваме, че ф-ята има само един лок. екстремум?

[mathinvalidnik]

Как доказваме,че ф-ята [tex]x^{4}-6x^{2}+12x-6[/tex] има само един лок. екстремум?

[Реклама]

[_sssss]

Това ще рече, че има само една точка, в която f' сменя знака си. Никакви ли идеи нямаш?

[martin123456]

[tex]f'(x)=4x^3-12x+12=4(x^3-3x+3)[/tex]
[tex]f''(x)=4(3x^2-3)=12(x^2-1)[/tex]
значи лок мин в [tex]f'(1)=4[/tex]
лок макс е [tex]f'(-1)=20[/tex]
=>[tex]f'[/tex] има корен < -1 и то само 1 корен

[mathinvalidnik]

Както и да е.да питам за още една работа.

Да се намерят стойностите на реалния параметър a .за които уравнението има решение:

а)[tex]sin^{4}x+cos^{4}x=a[/tex] тук получавам отг [tex]a=\frac{1}{2 }[/tex] , а дадения отговор е [tex]a \in [\frac{1}{2 };1][/tex]

б)[tex]sin^{6}x+cos^{6}x=a[/tex] тук получавам отг [tex]a=\frac{1}{4 }[/tex] , а дадения отговор е [tex]a \in [\frac{1}{4 };1][/tex]

къде трябва да ми е грешката?решавам по напълно познат начин.

п.п задачите са от сборника на Чъкарян.като решавам от този сборник винаги се чувствам като някакъв спрял,чувствам се тъп.

[ганка симеонова]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=78854&highlight=#78854

[mathinvalidnik]

ок.къде и липсата в моето решение?

[tex]sin^{4}x+cos^{4}x=a ; (sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}x.cos^{2}x=a;1-2sin^{2}x.cos^{2}x=a;1-a=2sin^{2}x.cos^{2}x[/tex]
[tex]\frac{1-a}{2 }=(sinx.cosx)^{2};sinx.cosx=\pm \sqrt{\frac{1-a}{2 }}[/tex]

[tex]\frac{sin2x}{2 }= \sqrt{\frac{1-a}{2 }};[/tex][tex]sin2x=2.\sqrt{\frac{1-a}{2 }}[/tex]

[tex]-1\le 2.\sqrt{\frac{1-a}{2 }} \le 1[/tex]

и това го решавам и общите решения са a=1/2

п.п не разбирам,защо е нужно да се използва производна и да се изследва самата ф-я

[Spider Iovkov]

[tex]sin^4 x + cos^4x = a \Leftrightarrow \left ( sin^2 x \right )^2 + \left ( cos^2 x \right )^2 = a \Leftrightarrow \left ( sin^2 x + cos^2 x \right )^2 - 2 sin^2 x cos^2 x = a[/tex]

Умножаваме и делим умалителя с [tex]2[/tex], за да получим формулата за синус от удвоен ъгъл, получаваме

[tex]1 - 2.\frac{2 sin^2 x cos^2 x}{2} = a \Leftrightarrow 1 - \frac{\left ( sin 2 x \right )^2}{2} = a \Leftrightarrow \frac{\left ( sin 2 x \right )^2}{2} = 1 - a \Leftrightarrow \left ( sin 2 x \right )^2 = 2 ( 1 - a )[/tex].

Знаем, че [tex]-1 \le sin 2x \le 1[/tex]. Така съобразяваме, че е изпълнено

[tex]0 \le sin 2x \le 1[/tex]

(защото синусът е на квадрат и приема само неотрицателни стойности). Вече виждаме, че за да има началното уравнение решение, трябва да са изпълнени двойните неравенства

[tex]0 \le 2 ( 1 - a ) \le 1 \Leftrightarrow \begin{array}{||} 2 ( 1 - a ) \ge 0 \\ 2 ( 1 - a ) \le 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} 2 - 2 a \ge 0 \\ 2 - 2 a \le 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} 1 - a \ge 0 \\ 2 a \ge 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} a \le 1 \\ a \ge \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow a \in \left [ \frac{1}{2}; 1 \right ][/tex].

[Spider Iovkov]

[tex]sin^6 x + cos^6 x = a \Leftrightarrow \left ( sin^2 x \right )^3 + \left ( cos^2 x \right )^3 = a \Leftrightarrow \left ( sin^2 x + cos^2 x \right ) \left [ \left ( sin^2 x \right )^2 - sin^2 x cos^2 x + \left ( cos^2 x \right )^2 \right ]=a[/tex]

Така уравнението се свежда до

[tex]\left [ \left ( sin^2 x \right )^2 - sin^2 x cos^2 x + \left ( cos^2 x \right )^2 \right ] = a \Leftrightarrow \left ( sin^2 x + cos^2 x \right ) - 2 sin^2 x cos^2 x - sin^2 x cos^2 x = a \Leftrightarrow 1 - 3 sin^2 x cos^2 x = a[/tex].

Последното е равносилно с

[tex]3 sin^2 x cos^2 x = 1 - a \Leftrightarrow sin^2 x cos^2 x = \frac{1-a}{3} \Leftrightarrow 4 sin^2 x cos^2 x = \frac{4(1-a)}{3} \Leftrightarrow \left ( sin 2 x \right )^2 = \frac{4(1-a)}{3}[/tex].

Отново поради горните съображения трябва да е изпълнена системата неравенства

[tex]\begin{array}{||} \frac{4(1-a)}{3} \ge 0 \\ \frac{4(1-a)}{3} \le 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} 1 - a \ge 0 \\ 4 - 4a \le 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} 1 - a \ge 0 \\ 4a \ge 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||} a \le 1 \\ a \ge \frac{1}{4} \end{array} \Leftrightarrow a \in \left [ \frac{1}{4}; 1 \right ][/tex].

[mathinvalidnik]

офф.мерси много емо.
не съм обърнал внимание,че тази част от моето решение не може да съществува за =-1
[tex]-1\le 2.\sqrt{\frac{1-a}{2 }}[/tex] всъщност то съществува от [tex]0;\infty[/tex](дясната част)