Интеграл задача 10

[Zlatinster]

[tex]\int_{}^{ }\frac{sin.\sqrt[]{x}+cos.\sqrt[]{x} }{\sqrt[]{x}sin2\sqrt[]{x}}dx.[/tex]

[Реклама]

[martin123456]

като се използва формулата [tex]\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}cos{\alpha}[/tex] и разделим почленно числителя на знаменателя трябва да сметнем
[tex]\frac{1}{2}(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}\cos{\sqrt{x}}}}+\int{\frac{dx}{\sqrt{x}\sin{\sqrt{x}}}})[/tex]

само с 1ви показвам, другият е аналогичен
[tex]2\int{\frac{d\sqrt{x}}{\cos{sqrt{x}}}=2\int{\frac{dy}{\cos{y}}}[/tex]

[Zlatinster]

Вече го направих мисля как да продължа.

[Zlatinster]

Защо си написал 2 пред интеграла нали 2коренх го вкарваме в dx?

[martin123456]

да, което е на степен 1/2, значи умножаваме по 2

[Zlatinster]

После как да я реша ?

[martin123456]

[tex]\int{\frac{dx}{\cos{x}}}=[/tex]?
[tex]\int{\frac{dx}{\sin{x}}}=\int{\frac{d\frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}}=\int{\frac{d\frac{x}{2}}{tg\frac{x}{2}\cos^2{\frac{x}{2}}}}=\int{\frac{dtg\frac{x}{2}}{tg\frac{x}{2}}}=ln|tg\frac{x}{2}|[/tex]
за твоя интеграл използвай [tex]\cos{x}=\sin(x+\frac{\pi}{2})[/tex] и просто замести в горния резултат

[Zlatinster]

А да

[Spider Iovkov]

[tex]\int{\frac{ sin{\sqrt{x}} + cos{\sqrt{x}} }{\sqrt{x} sin {2\sqrt{x}}}} \operatorname{d}x[/tex]

Полагаме [tex]\sqrt{x}=u, \, u>0 \Leftrightarrow x=u^2[/tex]. Тогава [tex]\operatorname{d}x = \operatorname{d} (u^2) \Leftrightarrow \operatorname{d}x = 2u \operatorname{d}u[/tex]. Нашият интеграл добива вида

[tex]\int{\frac{ sin u + cos u }{\cancel u sin 2u }} . 2\cancel u \operatorname{d}u = \cancel 2 \int{\frac{ sin u + cos u }{ \cancel 2 sin u cos u }} \operatorname{d}u = \int{\frac{ sin u + cos u }{ sin u cos u }} \operatorname{d}u = \int{\frac{1}{ cos u }} \operatorname{d}u + \int{\frac{1}{ sin u }} \operatorname{d}u \, (*)[/tex].

Остана само да намерим [tex]\int{\frac{1}{ sin u }} \operatorname{d}u[/tex] и [tex]\int{\frac{1}{ cos u }} \operatorname{d}u[/tex]. Да изчислим например втория интеграл. Получаваме

[tex]\int{\frac{1}{ cos u }} \operatorname{d}u = \int{\frac{ cos^2 {\frac{u}{2}} + sin^2 {\frac{u}{2}} }{ cos^2 {\frac{u}{2}} - sin^2 {\frac{u}{2}}}} \operatorname{d}u = \int{\frac{ 1 + \tan^2 {\frac{u}{2}}}{ 1 - \tan^2 {\frac{u}{2}}}} \operatorname{d}u[/tex].

Отново за удобство полагаме [tex]\tan {\frac{u}{2}} = t \Leftrightarrow \frac{u}{2} = \arctan t \Leftrightarrow u = 2 \arctan t[/tex] и [tex]\operatorname{d}u = \operatorname{d} \left ( 2 \arctan t \right ) \Leftrightarrow \operatorname{d}u = \frac{2}{1+t^2} \operatorname{d}t[/tex]. Оттук следва

[tex]\int{\frac{ 1 + \tan^2 {\frac{u}{2}}}{ 1 - \tan^2 {\frac{u}{2}}}} \operatorname{d}u = \int{\frac{1+t^2}{1-t^2}}.\frac{2}{1+t^2} \operatorname{d}t = \int{\frac{2}{1-t^2}} \operatorname{d}t = \ln |t+1| - \ln |t-1| = \ln | \tan {\frac{u}{2}} +1 | - \ln | \tan {\frac{u}{2}} -1 | \, (1)[/tex].

Аналогично намираме и [tex]\int{\frac{1}{ sin u }} \operatorname{d}u = \ln | \tan {\frac{u}{2}} | \, (2)[/tex].

Интегралът [tex](*)[/tex] е сума от [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex].

П. П. Малко са ме изпреварили, .