Интеграл задача 11

[Zlatinster]

[tex]\int_{}^{ }\frac{dx}{x^{2}\sqrt[]{x^{2}+a^{2}}}[/tex]

Стигнах до [tex]-\frac{1}{a^{2}sint}[/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]\int{\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+a^2}}} \operatorname{d}x[/tex]

Това, което стои под радикала, ни подсказва да положим [tex]x = a \tan t, \, t \in \left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right ) \Rightarrow \operatorname{d}x = \operatorname{d} \left ( a \tan t \right ) \Leftrightarrow \operatorname{d}x = \frac{a}{cos^2 t} \operatorname{d}t[/tex]. Така получаваме

[tex]\sqrt{x^2+a^2} = \sqrt{ \left ( a \tan t \right )^2 + a^2} = \sqrt{a^2 \tan^2 t + a^2} = \sqrt{a^2 \left ( 1 + \tan^2 t \right )} = \sqrt{\left ( \frac{a}{cos t} \right )^2}[/tex].

Понеже не знаем действителния знак на [tex]a[/tex], ще го оставим [tex]|a|[/tex]. В интервала [tex]\left ( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right )[/tex] [tex]cos t[/tex] приема само положителни стойности, т. е. [tex]|cos t| = cos t[/tex]. Оттук

[tex]\sqrt{\left ( \frac{a}{cos t} \right )^2} = \frac{|a|}{cos t}[/tex].

Интегралът ни придобива вида

[tex]\int{\frac{1}{a^2 \tan^2 t}.\frac{cos t}{|a|}.\frac{a}{cos^2 t}} \operatorname{d}t = \int{\frac{cos t}{a \tan^2 t}.\frac{1}{|a| cos^2 t}} \operatorname{d}t = \int{\frac{cos t \cot^2 t}{a}.\frac{1}{|a| cos^2 t}} \operatorname{d}t = \int{\frac{cos t \cancel {cos^2 t}}{a sin^2 t}.\frac{1}{|a| \cancel {cos^2 t}}} \operatorname{d}t = \int{\frac{cos t}{a |a| sin^2 t}} \operatorname{d}t[/tex].

Сещаме се, че [tex]( - \cot t)' = \frac{1}{sin^2 t}[/tex]. Така получаваме

[tex]\frac{1}{a|a|} \int{cos t} \operatorname{d} ( - \cot t) = -\frac{1}{a|a|} \int{cos t} \operatorname{d} ( \cot t )[/tex].

Интегрираме по части последния интеграл. Така

[tex]-\frac{1}{a|a|} \int{cos t} \operatorname{d} ( \cot t ) = -\frac{1}{a|a|} \left ( cos t \cot t - \int{\cot t} \operatorname{d} ( cos t) \right ) = -\frac{1}{a|a|} \left ( cos t \cot t + \int{ \cot t sin t } \operatorname{d}t \right ) =[/tex]
[tex]= -\frac{1}{a|a|} \left ( cos t \cot t + \int{\frac{cos t}{\cancel {sin t}} . \cancel {sin t}} \operatorname{d}t \right )[/tex].

Последното е равносилно с

[tex]-\frac{1}{a|a|} \left ( \frac{cos^2 t}{ sin t } + \int{ cos t } \operatorname{d}t \right ) = -\frac{1}{a|a|} \left ( \frac{cos^2 t}{ sin t } + sin t \right ) = -\frac{1}{a|a|}.\frac{1}{ sin t }[/tex].

Сега остава да заместим [tex]t[/tex] с неговото равно, а именно [tex]t = \arctan {\frac{x}{a}}[/tex].

[Zlatinster]

Е аз точно това съм получил просто незнам sint=?

[Kerry]

[tex] tg^2t=\left(\frac{x}{a} \right)^2\\ \frac{sin^2t}{1-sin^2t}=\left(\frac{x}{a} \right)^2 [/tex]

Сега решаваш уравнението спрямо sin t.

[Zlatinster]

Реших го ама не се получи отговора пак

[tex]sint=\frac{x\sqrt[]{a^{2}+x^{2}} }{a^{2}+x^{2}}[/tex]

[gdimkov]

Един по-кратък път.

[tex]\int_{}^{ } \frac {cost}{\sin^2t}dt=\int_{}^{ } \frac {dsint}{sin^2t}=-\frac {1}{sint}[/tex]

[Zlatinster]

Някой ще разпише ли sint правилно?

[Kerry]

Ами това, което си получил е правилно.
[tex] sint=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} [/tex]
За интеграла се получава
[tex]- \frac{\sqrt{x^2+a^2}} {a^2x} [/tex]

[Zlatinster]

Не разбрах като рационализирам къде отива от знаменателя a²+x²?