задача

[counter]

[tex]sin^{6}t + cos^{6}t=y[/tex] за кои стоиност. на y ? има решение

[Реклама]

[martin123456]

трябва да се види функцията вляво какви стойнсоти приема
[tex]f(t)=\sin^6{t}+\cos^6{t}[/tex]
[tex]f'(t)=6\sin^5{t}\cos{t}-6\cos^5{t}\sin{t}=6\sin{t}\cos{t}(\sin^4{t}-\cos^4{t})=6\sin{t}\cos{t}(\sin{t}+\cos{t})(\sin{t}-\cos{t})(\sin^2{t}+\cos^2{t})[/tex]
функцията е непрекъсната и периодична с период [tex]\pi[/tex], значи считаме [tex]t \in [0,\pi][/tex]
кога се анулира 1вата производна в този интервал
[tex]0[/tex],[tex]\frac{\pi}{2}[/tex],[tex]\frac{\pi}{4}[/tex],[tex]\frac{3\pi}{4}[/tex],[tex]\pi[/tex]
намери сега екстрмумите и виж в какви граници трябва да е y
п.с. даже е периодична с период [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]

п.с. добавям
[tex]f(0)=1[/tex]
[tex]f(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]f(\frac{\pi}{2})=1[/tex]
расте в [tex]t \in (\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})[/tex], иначе намалява в [tex]x \in (0,\frac{\pi}{4})[/tex]
значи приема стойнсоти от [tex][\frac{1}{4},1][/tex] и това са приемливите стойонсоти за y

[ганка симеонова]

[martin123456]

[mkmarinov]

От [tex]0 \le (sint-cost)^2=sin^2t+cos^2t-2sintcost = 1-2sintcost => sintcost \ge \frac{1}{2}[/tex]
[tex]sin^6t+cos^6t \ge 2(sintcost)^3 \ge 2.\frac{1}{2^3}=\frac{1}{4}[/tex].
Максимума очевидно е 1 (т.к. [tex]sin^6t+cos^6t \le sin^2t+cos^2t=1[/tex].