Вписани четириъгълници

[ins-]

Четириъгълника A1B1C1D1 е вписан в окръжност с радиус R1, а
четириъгълника A2B2C2D2 е вписан в окръжност с радиус R2.
Да се докаже, че ако:
<A1B1C1=<A2B2C2
<B1C1D1=<B2C2D2
<C1D1A1=<C2D2A2
<D1A1B1=<D2A2B2
то:
A1B1/A2B2=B1C1/B2C2=C1D1/C2D2=D1A1/D2A2=R1/R2.

[Реклама]

[martin123456]

нека [tex]\angle A_1C_1B_1=\alpha[/tex], [tex]\angle B_1A_1C_1=\beta[/tex], [tex]\angle A_1B_1D_1=\varphi[/tex], [tex]\angle C_1B_1D_1=\phi[/tex], a съответните ъгли в другия четериъгълник са [tex]\alpha'[/tex] и тн. От с-вото на вписаните ъгли и използвайки равните ъгли в четириъгълниците получааме 4 уравнения:
[tex]\alpha+\beta=\alpha'+\beta'[/tex]
[tex]\varphi+\phi=\varphi'+\phi'[/tex]
[tex]\varphi+\beta=\varphi'+\beta'[/tex]
[tex]\alpha+\phi=\alpha'+\phi'[/tex]
събираме 1во и 3то: [tex]\alpha+2\beta+\varphi=\alpha'+2\beta'+\varphi'[/tex], събираме го е с [tex]\phi[/tex]=>[tex]\varphi+2\beta=\varphi'+2\beta'[/tex]=>[tex]\beta=\beta'[/tex]. аналогично за всички такива ъгли.

разглеждаме триъгълниците [tex]A_1B_1C_1[/tex] и съответния му. За 1вия: [tex]\frac{A_1B_1}{\sin{\alpha}}=2R_1[/tex]. като разпишем и за 2ри синусова т-ма => първото равенство, което трябва да се док.

[ins-]

Ако разсъжденията ти са коректни - това твърдение може да се използва за част от решението на задачата с петолъчката, която съм пуснал.

[martin123456]

не съм виждал тази задача

[ins-]

Карай - доказателството не е коректно ... виж картинката. Но на некоректно твърдение - некоректно доказателство.

[martin123456]

какво да и видя

[ins-]

Значи ... на картинката имаме два четириъгълника вписани с едни и същи ъгли в една окръжност ... ако твърдението беше коректно - съответните страни трябваше да са равни. Това.

[martin123456]

да, щаха, а не са ли
а да изглежда че не са

[martin123456]

мн добър чертеж си направил
но не си откривам грешката
опс открих я - събрал съм с едно и също число и отдясно не е вярно

[ins-]

Чертежа е гола-вода на чешки ... а за грешката не съм мислил ... допуснах, че имаш грешка, щото доказваш коректно твърдение, което само по себе си не е вярно.

[ins-]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=12657 това е задачата - мъча я от много време направо ми се зави свят, а и не само аз. Склонен съм да дам 100 лв. за първото коректно решение с материал, изучаван в средното училище. Опровергаване на твърдението - също е решение.

[martin123456]

значи ако проследиш моите означения, имаме
[tex]A_1B_1=2R_1\sin{\alpha}[/tex]
[tex]A_2B_2=2R_2\sin{\alpha'}[/tex]
и значи трябва да док, че [tex]\frac{2R_1\sin{\alpha}}{2R_2\sin{\alpha'}}=\frac{R_1}{R_2}[/tex], т.е. че [tex]\sin{\alpha}=\sin{\alpha'}[/tex], което на твоя чертеж не ми изглежда е вярно

[ins-]

Сигурен ли си? "Моя чертеж" е конструиран по следния начин. Вписваме един четириъгълник в окръжност ... построяваме ъгъл с рамене, успоредни на раменете на дадения 4-ъгълник. После - построяваме - права през пресечната точка на едно от раме нете на ъгъла с окръжността - успоредна на съответната страна - после довършваме 4-ъгълника - по този начин - получаваме - 4-ъгълник вписан в същата окръжност с ъгли, равни на ъглите на първоначалния.

Това ми дава основание да твърдя, че твърдението е некоректно.

[martosss]

Мартине, я си провери ъглите, защото аз уравненията ги получавам по друг начин:
[tex]\alpha +\beta =\alpha '+\beta '\\\beta +\phi =\beta '+\phi '\\\varphi +\phi =\varphi '+\phi '\\\alpha +\varphi =\alpha '+\varphi '[/tex]
Получавам ето тези уравнения, откъдето не можеш да заключиш, че малките ъгълчета са равни
Принципно тази зависимост е в сила за диагоналите, за тях може много лесно да се докаже. А за страните не знам дали може, но според мен все ще стане, смисъл че двата четириъгълника са "подобни", откъдето всичко им е подобно

[martin123456]

проверих ги и съм се поправил
но задачата май не е коректна

[ins-]

Да, задачата определено не е коректна - това исках да покажа с чертежа.

[insight]

[ins-]

Казах го, защото аз самия се "подхлъзнах" няколко пъти и ми се иска да видя решение на задачата. Както се вижда - и при първи прочит на условието - иска се много находчивост, търпение, опит и въображение ... качества, които се изграждат трудно. А другото - малко хора инвестират в образование и развитие на интелекта. Нали трябва да сме бананова република. Сумата може да се стори на човек смешна, защото таланта няма цена, но все пак е нещо.

[insight]