Интеграл задача 7

[Zlatinster]

[tex]\int_{}^{ } \frac{\sqrt[]{1+lnx}}{xlnx}dx[/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]\int{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x \ln x}} \operatorname{d}x[/tex]

Полагаме [tex]\sqrt{1 + \ln x} = u, \, u>0 \Leftrightarrow 1 + \ln x = u^2 \Leftrightarrow \ln x = u^2-1 \Leftrightarrow x = e^{u^2-1}[/tex]. Тогава ще се окаже, че

[tex]\operatorname{d}x = \operatorname{d}(e^{u^2-1}) \Leftrightarrow \operatorname{d}x = 2e^{u^2-1} u \operatorname{d}u[/tex].

Интегралът, който трябва да намерим, придобива вида

[tex]\int{\frac{u}{u^2-1}.\frac{1}{e^{u^2-1}}.2e^{u^2-1}.u} \operatorname{d}u = \int{\frac{u}{u^2-1}.2u} \operatorname{d}u = 2\int{\frac{u^2}{u^2-1}} \operatorname{d}u[/tex].

Сега прибавяме и изваждаме [tex]1[/tex] в числител, получаваме

[tex]2\int{\frac{u^2+1-1}{u^2-1}} \operatorname{d}u = 2 \left ( \int{\frac{u^2-1}{u^2-1}} \operatorname{d}u + \int{\frac{1}{u^2-1}} \operatorname{d}u \right ) = 2 \left ( \int \operatorname{d}u + \int{\frac{1}{2} \left ( \frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\right ) \operatorname{d}u} \right ) \, (*)[/tex].

Тук разложихме дробта [tex]\frac{1}{u^2-1}[/tex] по метода на неопределените коефициенти, а именно, че

[tex]\frac{1}{u^2-1} = \frac{A}{u+1}+\frac{B}{u-1} = \frac{A(u-1)+B(u+1)}{(u+1)(u-1)}[/tex],

откъдето трябва да е изпълнено равенството [tex]A(u-1)+B(u+1)=1[/tex]. При [tex]u=-1[/tex] намираме [tex]A=-\frac{1}{2}[/tex], а при [tex]u=1[/tex] − [tex]B=\frac{1}{2}[/tex]. Сега се връщаме към интеграла [tex](*)[/tex]. Разкриваме скобите −

[tex]2\int \operatorname{d}u + \int{\frac{1}{u-1}} \operatorname{d}u - \frac{1}{u+1} \operatorname{d}u = 2\int \operatorname{d}u + \int{\frac{1}{u-1}} \operatorname{d}(u-1) - \int{\frac{1}{u+1}} \operatorname{d}(u+1) = 2u + \ln |u-1| - \ln (u+1)[/tex].