Интеграл задача 5

[Zlatinster]

[tex]\int_{}^{ }\frac{dx}{\sqrt[]{e^{x}+1}} [/tex]=?

[Реклама]

[martin123456]

[Spider Iovkov]

[tex]\int{\frac{1}{\sqrt{e^x+1}}} \operatorname{d}x[/tex]

Полагаме [tex]\sqrt{e^x+1}=u, \, u>0 \Leftrightarrow e^x+1=u^2 \Leftrightarrow e^x=u^2-1 \Leftrightarrow x = \ln (u^2-1)[/tex]. Тогава [tex]\operatorname{d}x = \operatorname{d} \left ( \ln (u^2-1) \right ) \Leftrightarrow \operatorname{d}x = \frac{2u}{u^2-1} \operatorname{d}u[/tex]. Интегралът ни придобива вида

[tex]\int{\frac{1}{u} . \frac{2u}{u^2-1}} \operatorname{d}u = 2\int{\frac{1}{u^2-1}} \operatorname{d}u[/tex].

Но [tex]\frac{1}{u^2-1} = \frac{1}{(u+1)(u-1)} = \frac{A}{u+1}+\frac{B}{u-1}[/tex] се разлага до [tex]\frac{1}{2(u-1)}-\frac{1}{2(u+1)}[/tex], откъдето нашият интеграл става

[tex]2.\frac{1}{2} \left ( \int{\frac{1}{u-1}} \operatorname{d}u - \int{\frac{1}{u+1} \operatorname{d}u} \right ) = \ln(u-1)- \ln(u+1) = \ln {\frac{u-1}{u+1}} + \operatorname{C} = \ln {\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}} + \operatorname{C}[/tex].

[Zlatinster]

Кога се пише ln(u-1) и кога ln|u-1|?

[martin123456]