Параметрично уравнение

[baroveca]

Намерете стойностите на реалния параметър k, за които уравнението
[tex]\frac{x}{ (1+4x)^2} +\frac{4k\sqrt{x} }{ 1+4x} +3=0[/tex] има решение
Може ли инструкции?

[Реклама]

[martin123456]

полагаме [tex]\frac{\sqrt{x}}{1+4x}=y[/tex]. ДМ: [tex]x \geq 0[/tex]
става
[tex]y^2+4ky+3=0[/tex]
да видим кога уравнението има решение - когато [tex]\frac{\sqrt{x}}{1+4x}=y[/tex] има решение <=> [tex]\sqrt{x}=y(1+4x)[/tex] <=> [tex]x=y^2(1+4x)^2[/tex] <=> [tex]x=y^2(1+8x+16x^2)[/tex] <=> [tex]16y^2x^2+x(8y^2-1)+y^2=0[/tex] да има решение
1)y=0
<=>x=0, 3=0 значи не ни устройва
2)[tex]y \ne 0[/tex]
[tex]D=(8y^2-1)^2-64y^4=-16y^2+1[/tex]
значи за да има последното решение трябва дискр да е неотрицателна. Това е вярно за [tex]y^2 \leq \frac{1}{16}[/tex]<=>[tex]y \in [-\frac{1}{4},\frac{1}{4}][/tex]

задачата става: да се намерят к, че [tex]y^2+4ky+3=0[/tex] да има решение в интервала [tex]y \in [-\frac{1}{4},\frac{1}{4}][/tex]

[baroveca]

Благодаря,март