Измежду всички трапеци с малка основа и бедра равни...

[mathinvalidnik]

Измежду всички трапеци с малка основа и бедра равни на a ,намерете голямата основа на този,който има най-голямо лице.

[Реклама]

[naitsirk]

използвай, че диагоналите са и ъглополовящи и лесно можеш да изразиш лицето като функция на остриъя ъгъл при основата

[Spider Iovkov]

Построяваме [tex]DD_{1} \bot AB[/tex] и [tex]CC_{1} \bot AB[/tex] и означаваме [tex]AD_{1}=BC_{1}=x[/tex]. Понеже [tex]DD_{1}=CC_{1}=h[/tex], то от правоъгълния [tex]\triangle BC_{1}C[/tex] намираме

[tex]h=\sqrt{a^2-x^2}[/tex].

Тогава лицето на трапеца е [tex]S_{ABCD}=\frac{a+b}{2}.h \Leftrightarrow S_{ABCD}=\frac{2a+2x}{2}.\sqrt{a^2-x^2} \Leftrightarrow S_{ABCD}= \left ( a+x \right ) \sqrt{a^2-x^2}[/tex].

Въвеждаме функция [tex]f(x)[/tex] с равенството [tex]f(x)= \left ( a+x \right ) \sqrt{a^2-x^2}[/tex]. Смятаме нейната производна − тя е [tex]f'(x)=\frac{a^2-x^2-x \left ( a+x \right )}{\sqrt{a^2-x^2}}[/tex]. Сега решаваме неравенствата

[tex]f'(x)>0 \, \cup \, f'(x)<0[/tex].

Функцията [tex]f(x)[/tex] намалява при [tex](-\infty;-a)[/tex], расте при [tex] \left ( -a; \frac{a}{2}\right )[/tex] и намалява при [tex]\left ( \frac{a}{2}; +\infty \right )[/tex]. Тогава в точката [tex]x_{0}=\frac{a}{2}[/tex] функцията има екстремум, който е максимум (при преминаването през [tex]x_{0}[/tex] тя от растяща става намаляваща). Тогава

[tex]f_{\operatorname {max}} = S_{\operatorname {max}} = f(x_{0}) = f(\frac{a}{2}) = \frac{3a^2}{4} \sqrt{3}[/tex].

Тази стойност се достига при [tex]AB=a+2x \Leftrightarrow AB=2a[/tex].

Картинка примерно при [tex]a=6 \Rightarrow f(x) = \left ( x+6 \right ) \sqrt{36-x^2}[/tex].

[mathinvalidnik]

да,браво.това е отговора.само на наитсирк не можах да разбера как ще стане решението.ако ти се занимава ша го напишеш ли.сещам се,че имаше някаква формула за лицето свързана с диагоналите и синуса на ъгъла между тях ама,а може и да се лъжа?

едит:Всъщност,да.видях,че има ф-ла за произволен 4-ъгълник [tex]S=\frac{d_{1}.d_{2}sin\alpha}{2 }[/tex]

[Spider Iovkov]

Ето и тригонометрично решение, . Пак построяваме [tex]DD_{1} \bot AB[/tex] и [tex]CC_{1} \bot AB[/tex]. Тогава от правоъгълния [tex]\triangle AD_{1}D[/tex] имаме

[tex]\angle BAD = \alpha \Rightarrow h = a sin\alpha, \, AD_{1} = a cos\alpha \Leftrightarrow AB = 2 a cos\alpha + a[/tex].

Сега лицето е [tex]S_{ABCD} = \frac{2a + 2a cos\alpha}{2}. a sin\alpha \Leftrightarrow S_{ABCD} = a ( 1 + cos\alpha ) a sin\alpha \Leftrightarrow S_{ABCD} = a^2 sin\alpha ( 1 + cos\alpha )[/tex].

Разглеждаме функцията [tex]f(\alpha) = sin\alpha ( 1 + cos\alpha )[/tex]. Нейната производна е [tex]f'(\alpha) = 2 cos^2 \alpha + cos\alpha - 1[/tex]. Решавайки уравнението

[tex]f'(\alpha) = 0[/tex],

получаваме [tex]cos\alpha = \frac{1}{2} \Leftrightarrow cos\alpha = cos 60^\circ \Leftrightarrow \alpha = 60^\circ[/tex]. Така определяме [tex]S_{\operatorname {max}} \Leftrightarrow AB_{\operatorname {max}} \Leftrightarrow AB = 2a[/tex].

[mathinvalidnik]

Още 2 задачи които не мога да реша.и двете са от учебника ми по математика.

1.Обемът на правилна 3ъгълна призма е равен на V .Намерете дължината на основния ръб,при кяото повърхнината на призмата е най-малка.(подобна е на горанта задача,но не успявам да я реша)

2.На магистрала е разположено рекламно табло(билборд) с височина 5.76 м . Долният край на билборда е на височина 4.24м от земята.Намерете на какво разстояние ъгълът,под който шофьор вижда билборда,е най-голям,ако очите на шофьора са 1м над земята.

[Spider Iovkov]

Нека дадената правилна триъгълна призма е [tex]ABCA_{1}B_{1}C_{1}[/tex]. Означаваме основния ù ръб с [tex]x[/tex], а околния − с [tex]h[/tex]. Тогава пресмятаме

[tex]B=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{x^2}{2}. sin 60^\circ \Leftrightarrow B=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}[/tex].

Знаем, че [tex]V=Bh \Leftrightarrow h=\frac{V}{B} \Leftrightarrow h=\frac{4V}{x^2\sqrt{3}}[/tex].

Повърхнината на призмата е сума от лицата на основите и лицата на всичките околни стени, които са правоъгълници, т. е.

[tex]S=2S_{\triangle ABC}+3S_{BCC_{1}B_{1}} \Leftrightarrow S=2.\frac{x^2 \sqrt{3}}{4} + 3.x.\frac{4V}{x^2 \sqrt{3}} \Leftrightarrow S=\frac{x^2 \sqrt{3}}{2} + \frac{12V}{x\sqrt{3}}[/tex].

Сега остана само да намерим минимума на повърхнината. За целта ще разгледаме функцията [tex]f(x)=\frac{x^2 \sqrt{3}}{2} + \frac{12V}{x\sqrt{3}}[/tex]. Нейната производна е

[tex]f'(x)=x\sqrt{3}-\frac{4V\sqrt{3}}{x^2}[/tex].

След като решим неравенството [tex]f'(x)>0 \Leftrightarrow x^3>4V \Leftrightarrow x> \sqrt[3]{4V}[/tex], установяваме, че отляво на точката [tex]x_{0}=\sqrt[3]{4V}[/tex] функцията намалява, а отдясно − расте. Тогава в точката [tex]x_{0}=\sqrt[3]{4V}[/tex] [tex]f(x)[/tex] има минимум. Това е и търсената стойност на основния ръб.

[_sssss]

За втората използвай този чертеж и изрази някоя тригонометрична функция на ъгъл a като функция на x.