Неопределен интеграл

[Luiza1991]

∫(2cos²frac{x}{ 2} +2sin x sin 3x)dx

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]\int{(2 cos^2 {\frac{x}{2}} + 2 sin x sin 3 x)} \operatorname{d}x[/tex]

Разделяме на два интеграла – [tex]\int{2 cos^2 {\frac{x}{2}}} \operatorname{d}x + \int{2 sin x sin 3 x} \operatorname{d}x[/tex], и [tex]\int{2 cos^2 {\frac{x}{2}}} \operatorname{d}x = I_{1}, \, \int{2 sin x sin 3 x} \operatorname{d}x = I_{2}[/tex]. Ще сметнем всеки един от тях поотделно.

Знаем, че [tex]cos^2 {\frac{x}{2}} = \frac{1 + cos x}{2}[/tex], тогава [tex]2 cos^2 {\frac{x}{2}} = 2 \frac{1 + cos x}{2} \Leftrightarrow cos^2 {\frac{x}{2}} = 1 + cos x \Rightarrow I_{1} = \int{(1 + cos x)} \operatorname{d}x[/tex]. Сега тук също разделяме на два прости интеграла, получаваме

[tex]I_{1} = \int \operatorname{d}x + \int{cos x} \operatorname{d}x \Leftrightarrow \fbox {I_{1} = x + sin x}[/tex].

Стигаме до другия интеграл – [tex]I_{2}[/tex]. Първо ще преобразуваме подинтегралната функция. За целта си спомняме познати формули от тригонометрията. Тогава

[tex]sin 3 x = sin (x+2x) = sin x cos 2x + cos x sin 2 x \Leftrightarrow sin 3x = sin x cos 2 x + 2 sin x cos^2 x \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow sin 3x = sin x ( cos 2x + 2 cos^2 x ) \Leftrightarrow sin 3x = sin x ( 2 cos 2 x + 1 )[/tex].

От последното следва, че [tex] sin x sin 3x = sin^2 x ( 2 cos 2x + 1 ) = \frac{1 - cos 2x}{2} ( 2 cos 2 x + 1 )[/tex], т. е.

[tex]2 sin x sin 3 x = ( 1 - cos 2 x ) ( 2 cos 2 x + 1 ) = cos 2x - 2 cos^2 2x + 1[/tex].

Така вторият интеграл се свежда до

[tex]I_{2} = \int{cos 2x} \operatorname{d}x - \int{2 cos^2 2x} \operatorname{d}x + \int \operatorname{d}x \Leftrightarrow I_{2} = \frac{1}{2}\int{cos 2x} \operatorname{d} (2x) - \int{(1 + cos 4x)} \operatorname{d}x + \int \operatorname{d}x \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow I_{2} = \frac{1}{2} \int{cos 2x} \operatorname{d} (2x) + \int \operatorname{d}x - \left ( \int \operatorname{d}x + \int{cos 4x} \operatorname{d}x\right ) \Leftrightarrow I_{2} = \frac{1}{2} \int{cos 2x} \operatorname{d}(2x) + \int \operatorname{d}x - \int \operatorname{d}x - \frac{1}{4} \int{cos 4x} \operatorname{d}(4x) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \fbox {I_{2} = \frac{1}{2} sin 2x - \frac{1}{4} sin 4x}[/tex].

Но изходният интеграл е сума от интегралите [tex]I_{1}[/tex] и [tex]I_{2}[/tex], т. е. [tex]\int{(2 cos^2 {\frac{x}{2}} + 2 sin x sin 3 x)} \operatorname{d}x = I_{2}+I_{2}.[/tex]. Всичко вече е ясно –

[tex]\int{(2 cos^2 {\frac{x}{2}} + 2 sin x sin 3 x)} \operatorname{d}x = \frac{4x + 4 sin x + 2 sin 2x - sin 4x}{4} + \operatorname{C}, \, \operatorname{C} = \operatorname{const}[/tex].