Канонизиране на крива линия от 2-ра степен.Транслация ?

[ironsteel]

Здравейте.

Значи уравнението на кривата е:

[tex]17x^{2} + 12xy + 8y^{2}+20\sqrt{5}x+20=0[/tex]

Определих ,че кривата е елипса.



Това са собствените вектори които намерих:

[tex]\vec{e_{1}}=(\frac{2}{\sqrt{5} } ,\frac{1}{\sqrt{5} })[/tex]
[tex]\vec{e_{2}}=(\frac{-1}{\sqrt{5} } ,\frac{2}{\sqrt{5} })[/tex]

След като извърших ротация получих това уравнение:

[tex]4x_{2}+y^{2}+8x-4y+4=0[/tex]


И сега въпросът ми.

Знам ,че формулите за трaнслация са:


[tex]x=X+a[/tex]
[tex]y=Y+b[/tex]


Когато заместя във уравнението след ротацията получих:

[tex]4(X+a)^{2}+(Y+b)^{2}+8(X+a)-4(Y+b)+4=0[/tex].


1.Правилно ли съм съставил заместването за транслация ?
2.Искам да ви помоля за напътствие ,в смисъл как да го упростя това уравнение,знам че след като го упростя трябва да нулирам коефициентите пред X и Y.Ако може подробно да ми разпишете стъпките,чрез които трябва да го упростя и ако имам някакви грешки преди транслацията да ми ги кажете.

Незнам дали темата ми е за този раздел.
Ще съм ви много,прекалено благодарен!!!!

[Реклама]

[nikko1]

Да, добре са ти сметките. Разкрий скобите и намери система 2х2 за [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex].

[ironsteel]

[nikko1]

Изнасяш X и Y само от "неквадратичната част" и имаш
[tex]4X^2+Y^2+X(8a++Y(2b-4)+4a^2+b^2+8a+4b+4=0[/tex]
сега целта е да остане само квадратичната част и свободен коефициент, т.е.
[tex]\begin{array}{|l}8a+8=0\\2b-4=0\end{array}[/tex] и намираш решенията, които ти дават центъра на кривата т. O(a,b). След като направиш транслацията и изместиш центъра на КС да е в т. О ще получиш уравнение от видя [tex]c_1x^2+c_2y^2=d[/tex] делиш двете страни на d и имаш [tex]\frac{x^2}{\left(\sqrt{\frac{d}{c_1}}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\sqrt{\frac{d}{c_2}}\right)^2}=1[/tex] и това ти е каноничното уравнение. Ако се търси смяната ще трябва да композираш двете смени - ротацията и транслацията в една смяна.

P.S. Има бъг в тех системата и първото уравнение свършва с голямата 0. След това има бъгнати неща.