Развитие на бином

[baroveca]

Третият член в развитието на бинома [tex](x^{lgx}+x)^5[/tex] е равен на 100.Да се намери х.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

От развитието на Нютоновия бином получаваме

[tex](x+a)^n=C_{n}^0 x^n + C_{n}^1 x^{n-1}a+C_{n}^{2}x^{x-2}a^2+...+C_{n}^{n-1}xa^{n-1}+C_{n}^n a^n[/tex].

В нашия случай [tex]x=x^{\lg x}[/tex] и [tex]a=x \, (*)[/tex]. Тогава достигаме до

[tex]C_{n}^2 x^{n-2}a^2=100[/tex],

което при [tex]n=5[/tex] се трансформира в [tex]C_{5}^2 x^3 a^2 = 100[/tex]. Заместваме [tex]x[/tex] и [tex]a[/tex] с техните равни [tex](*)[/tex] и намираме

[tex]C_{5}^2 \left ( x^{\lg x} \right ) ^ 3 x^2 = 100 \Leftrightarrow \frac{5!}{2!3!} \left ( x^{\lg x} \right ) ^ 3 x^2 = 100 \Leftrightarrow x^{3 \lg x + 2} = 10[/tex].

Като положим [tex]\lg x = u \Leftrightarrow x = 10^u[/tex], имаме [tex]\left ( 10^u \right ) ^ {3u+2} = 10 \Leftrightarrow u(3u+2) = 1 \Leftrightarrow 3u^2+2u-1=0 \Leftrightarrow u = \frac{1}{3}, \, u=-1 \Leftrightarrow x=10^{\frac{1}{3}}, \, x=\frac{1}{10}[/tex].

[baroveca]

Аз знам и друг начин.Нека някой се опита да го реши по друг начин.Еначе отговорите са верни.Браво!

[dim]

Триъгълник на паскал ?

[martin123456]

трети член е [tex]{5 \choose 2}(x^{lgx})^3x^{2}[/tex]
значи [tex]{5 \choose 2}(x^{lgx})^3x^{2}=100[/tex]

[dim]

[baroveca]

Ето едно хубаво решение.
[tex](x^{lgx}+x)^5=100[/tex]

[tex]C_5^2(x^{lgx}^3)*x^2=100[/tex]

[tex]\frac{5*4}{1*2 } *x^{3lgx}*x^2=100[/tex]

[tex]x^{3lgx+2}=10[/tex]

[tex](3lgx+2)lgx=lg10[/tex]

[tex]3lgx^2+2lgx-1=0[/tex]
[tex]lg=\frac{-1\pm\sqrt{1+3} }{3 } [/tex]

[tex]lgx=\frac{1}{3 } =>x_1=10^{\frac{1}{ 3} [/tex]

[tex]lgx=-1=>x_2=10^{-1}=0,1[/tex]

[dim]

[baroveca]

[stflyfisher]

[baroveca]

Извинявайте