Едно показателно неравенство?!?

sophos_moros · Начинаещ Регистриран на: 23 May 2008 Мнения: 11

Здравейте, Smile

Имам проблем със следното неравенство:
4>x.2^x
Доста неща пробвах, обаче не стигам доникъде./само забелязвам, че (-∞;1] са решения и от [2;+∞) не са, но трябва да има и други в интервала (1;2)/
Ще се радвам, ако някой покаже как се решава.
Благодаря предварително!

Реклама

mkmarinov · Пуснато на: Sun Dec 20, 2009 6:39 pm Заглавие:

Произведението на 2 растящи положителни функции е положителна функция, т.е. [tex]x.2^x[/tex] расте за х>0.
Очевидно всяко отрицателно х е решение, а при положително х имаш отляво константа, а отдясно - растяща функция, които имат най-много една пресечна точка. Остава само да намериш корена на уравнението [tex]x.2^x=4[/tex] (което поне за мен не е лесна задача) и решенията на неравенството ще са всички числа, по-малки от този корен.

martin123456

да, така е
[tex]f(x)=x2^x-4[/tex]
[tex]f'(x)=2^x(1+xln2)[/tex]
анулира се за [tex]x=-\frac{1}{ln2}[/tex], кеото е отрицателно число
в [tex](-\infty,-\frac{1}{ln2}][/tex] намалява, иначе расте
за [tex]x \leq 0[/tex] неравенството е изпълнено очевидно
а за [tex]x >0[/tex] функцията расте и трябва да решим уравнението [tex]x2^x=4[/tex] за да намерим другият интервал на решение - ако решението на уравнението е [tex]x_0[/tex]
, то отг на задачата е [tex](-\infty,x_0)[/tex]
за жалост не се вижда колко е [tex]x_0[/tex]

sophos_moros · Пуснато на: Sun Dec 20, 2009 8:37 pm Заглавие:

Хм, а как се получава натуралния логаритъм?

martin123456 · Пуснато на: Sun Dec 20, 2009 9:28 pm Заглавие:

хм, ли? ми научи каква е производната на [tex]a^x[/tex]

sophos_moros · Пуснато на: Mon Dec 21, 2009 1:04 pm Заглавие:

a^x=x.a^x-1
Иначе производната на x.2^x-4 e
((x.2^x))'-4'=
x'.2^x+x.x.2^x-1=
2^x+x.x.2^x-1=
2^x(1+x².(1/2))

Затова не разбирам откъде идва натуралниялогаритъм.

martin123456 · Пуснато на: Mon Dec 21, 2009 1:12 pm Заглавие:

[tex](a^x)'=a^xlna[/tex]

sophos_moros · Пуснато на: Mon Dec 21, 2009 3:12 pm Заглавие:

Ясно, разбрах! Smile

Не съм го учил, затова го обърках.

sophos_moros · Пуснато на: Mon Dec 21, 2009 3:19 pm Заглавие:

Питах учителя си по математика и той каза, че уравнението 4=x.2^x е трансцендентно и отговорът му се намира с приближение /например по Болцано/.

martin123456 · Пуснато на: Tue Dec 22, 2009 9:55 am Заглавие:

ми предполагам че е било =8, а не =4

sophos_moros · Пуснато на: Tue Dec 22, 2009 10:30 pm Заглавие:

Ами всъщност с един приятел решавахме една друга задача /показателно неравенство/ и лявата част се разложи на 4-x.2^x и на още един множител /дясната беше 0/, който имаше корен, откъдето пък получихме дефиниционно множество, което беше достатъчно, за да се намери отговора, тъй като ДМ беше от -√2 до √2, а не беше трудно да намеря знака на 4-x.2^x в този интервал. Но късно се сетихме, че можем да решим задачата и без да определяме нулите на първия множител. Направих си извод, че допустимите стойности наистина са много важни.