Логаритъм и синус

[overdose]

значи ето условието на задачата....Да се намерят всички двойки числа (х,у), за които е изпълнено неравенството log3(с основа х) + logx(с основа 3) <= 2siny

[Реклама]

[uktc]

Хубава задачка. Ето решението ми:


П.П. В решението на задачата е взето предвид, че log₃^x*log_x³=1

[overdose]

10х но по-прост начин няма ли

[uktc]

Винаги има по-прост начин

[overdose]

да но кой е той ?

[omeganet]

Ето един по-лесен начин:
ДМ: x > 0; x ≠ 1

log_x3 + log₃x ≤ 2.sinY
log₃x + 1 / log₃x - 2.sinY ≤ 0
log₃x = t

1) log₃x = t > 0
x > 1

t² - 2.sinY.t + 1 ≤ 0
D = 4 . sin²Y - 4 = -4.(1 - sin²Y) = -4.cos²Y ≤ 0 за всяко Y

Ако D < 0, тъй като коефициентът пред t² (т.е. 1) е положителен, то ф-ята приема винаги положителни стойности и в този случай нямаме решение. Остава да провериме при D = 0.

cosY = 0 => Y = π / 2 + kπ (k - цяло число) => sinY = ±1
Кодато D = 0, единственият корен на у-то е t = sinY. Но t > 0 => t = 1 => log₃x = 1 = log₃3 => x = 3. Тъй като sinY > 0, то решения остават само Y = π / 2 + 2kπ

Така получаваме следните решения: (x; y) = (3; π / 2 + 2kπ)

2) log₃x = t > 0
x < 1

t² - 2.sinY.t + 1 ≥ 0
D ≤ 0

Разгледахме случая, ако D = 0. Сега ако D > 0 неравенството е изпълнено за всяко х < 1 и всяко Y. Така получаваме и другите решения:
(x; y) = (m; n), където 0 < m < 1 и n е реално.