Задачи по аналитична геометрия help

[r0sKa7a]

Намерете разстоянието от т. М (-6,5,5) до равнината образувана от т.А (-2,0,-4), т.Б (-1,7,1), т.C (4,-8,-4)


Напишете каноничното уравнение на правата
{6x-7y-z-2=0
{x+7y-4z-5=0

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Нека са дадени три неколинеарни точки [tex]M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1}), \, M_{2}(x_{2};y_{2};z_{2})[/tex] и [tex]M_{3}(x_{3};y_{3};z_{3})[/tex]. Тогава уравнението на равнината [tex]\lambda[/tex], която минава през тези три точки, е всъщност детерминантата

[tex]\lambda: \, \left | \begin{array}{rrr} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array} \right | = 0 \, (*)[/tex].

В нашия случай точките са [tex]A(-2;0;-4), \, B(-1;7;1)[/tex] и [tex]C(4;-8;-4)[/tex] и детерминантата [tex](*)[/tex] ще изглежда по следния начин:

[tex]\left | \begin{array}{rrr} x+2 & y & z+4 \\ 1 & 7 & 5 \\ 6 & -8 & 0 \end{array} \right | = 0[/tex].

Като я развием по правилото на Сарус, получаваме уравнението на равнината [tex]\lambda[/tex] през три точки: [tex]\lambda: \, 4x+3y-5z-12=0[/tex].

Общо уравнение на равнина се нарича уравнението [tex]\lambda: \, Ax+By+Cz+D=0[/tex]. Нормално уравнение на равнина е уравнението

[tex]\lambda: \, \frac{Ax+By+Cz+D}{- \operatorname{sign}D \sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/tex].

Фиксираното разстояние [tex]\delta[/tex] от точка [tex]M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})[/tex] до равнината [tex]\lambda[/tex] се получава, като се заместят координатите на [tex]M_{0}[/tex] в нормалното уравнение на равнината, т. е.

[tex]\delta = \left | \frac{Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{- \operatorname{sign}D \sqrt{A^2+B^2+C^2}} \right |[/tex].

В случая нормалното уравнение има вида [tex]\lambda: \, \frac{4x+3y-5z-12}{5\sqrt{2}}[/tex], откъдето ориентираното разстояние е [tex]\delta = \frac{46}{5\sqrt{2}}[/tex].