Олимпиада по математика 2007 I кръг 12 клас

[administrator]

Нека да коментираме задачите от олимпиадата по математика за 12 клас(за Врачанска област) предоставени от Titu_Andrescu

Задачите за 12 клас

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Изкушавам се да споделя едно решение на 1 а).

x²y²+x+y-3xy≥x²y²+2√(xy)-3xy=√(xy)(√(xy)-1)²(√(xy)+2)≥0.

[uktc]

1б)
Производната е 3(x^2-2ax+a^2-1). Нула е при x=a±1.
Сега трябва да намерим стойностите на а, за които f(a-1)+f(a+1)=2a^3+a^2+2.
Набързо сметнах a=-3±√5, но е твърде възможно да съм объркал.

[uktc]

зад 3.
АB перп. на BC
От th за 3-те перпендик=>
MB перп. на BC, т.е. триъгълник MBC-правоъгълен.
MA перпендик на ABC=>
МА перп. на AC, т.е. тр. ACM- правоъг.
Да разгледаме точка N.
NM=NC=NB=NA => N е центъра на описаната сфера.
От NA=NB=> тр. ABN- равноб. От P-среда=> NP перпендик на AB.

От правоъгълния тр. APM по питаг. th намираме MP=(√5/2)a.
Аналогично от правоъг. тр. PBC имаме PC=(√5/2)a.
Сега тр. MPC -равноб. От N-среда на основата => NP перп. на MC.
Чрез питагорова теорема последователно намираме
AC=a√2- от тр. ABC.
MC=a√3- от тр. AMC.
=> NC=a√3/2.
Сега от правоъгълния тр. NCP по питаг. th намираме NP=a/√2.

[martin_bg]

Зад.2 :
алфа = a ; бета = b и гама = j
Имаме : a + b + j = 180
2b = a + j ( от прогресията ) = 180 - b => 3b = 180 => b = 60

Сега вече имаме a + j = 120 => j = 120 - a
=> cos(a) + tg(b) + sin (j) = 3√3 / 2 + 1
=> cos(a) + tg(60) + sin(120 - a) = 3√3 / 2 + 1
=> cos(a) + sin(120 - a) = √3/2 + 1
=> cos(a) + √3/2*cos(a) - (-1/2)*sin(a) = √3/2 + 1 l *2
=> (2+√3)cos(a) + sin(a) = 2+√3
Използваме следното свойство:
Ако m*sin(a) + n*cos(a) = c то съществува cos(x) = m / √(m*m + n*n) и sin(x) = n / √(m*m + n*n) (sin(x)*sin(x) + cos(x)*cos(x) = 1 )
=> m*sin(a) + n*cos(a) = c => cos(x) sin(a) + sin(x).cos(a) = c / √(m*m + n*n) => sin(a + x) = c / √(m*m + n*n)
В случая m = 2 + √3 , n = 1 и c = 2 + √3
=> √(m*m + n*n) = √(8+4√3) = √(2*(4+2√3)) = √(2*(√3 + 1)(√3 + 1)) =√2(√3 + 1)

=>(2+√3)cos(a) + sin(a) = 2+√3 = (2+√3) / (√2(√3 + 1))cos(a) + 1 / (√2(√3 + 1))sin(a) = (2+√3) / (√2(√3 + 1))

Но (2+√3) / (√2(√3 + 1)) =( (√3 + 1)(√3 + 1)/2 ) / (√2(√3 + 1) = (√3 + 1)/ 2√2 = 1/√2 ( √3/2 + 1/2 ) = 1/√2 (sin(60) + cos(60)) = √2/2sin(60) + √2/2cos(60) = sin(60)cos(45) + cos(60)sin(45) = sin(60+45) = sin(105)

Сега изразът добива вида :
sin(105)cos(a) - cos(105)sin(a) = sin(105)
=> sin(105 - а) = sin(105) И понеже а е от ( 0 ; 120) = > 105 - a = 105 => а = 0 - не е решение или 105 - а = 180 - 105 = 75 => а = 30
=> Отг. a = 30 , b = 60 и j = 90