Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 8:33 pm Заглавие: Уравнение |
|
|
[tex]10^{lg^2x-3}+x(lg^2x-2lgx-3)=x^2 [/tex]
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
baroveca Напреднал
Регистриран на: 26 Feb 2009 Мнения: 347
гласове: 14
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:10 pm Заглавие: |
|
|
Съжалявам за офтопика,но в кой клас се учат такива задачи?Ако е за 10 клас знам,че [tex]lg[/tex] азначава десетичен логъритъм.А в този случай като имаме
[tex]10^{lg^2x-3}[/tex] и ще стане само 2х-3,нали?Или греша?
|
|
Върнете се в началото |
|
|
mathinvalidnik Фен на форума
Регистриран на: 04 Jun 2008 Мнения: 577 Местожителство: Вкъщи гласове: 20
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:15 pm Заглавие: |
|
|
baroveca написа: | Съжалявам за офтопика,но в кой клас се учат такива задачи?Ако е за 10 клас знам,че [tex]lg[/tex] азначава десетичен логъритъм.А в този случай като имаме
[tex]10^{lg^2x-3}[/tex] и ще стане само 2х-3,нали?Или греша? |
Двойката е степен на логаритъма,не е в аргумента
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:16 pm Заглавие: |
|
|
baroveca написа: | Съжалявам за офтопика,но в кой клас се учат такива задачи?Ако е за 10 клас знам,че [tex]lg[/tex] азначава десетичен логъритъм.А в този случай като имаме
[tex]10^{lg^2x-3}[/tex] и ще стане само 2х-3,нали?Или греша? |
Грешиш.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
baroveca Напреднал
Регистриран на: 26 Feb 2009 Мнения: 347
гласове: 14
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:17 pm Заглавие: |
|
|
mathinvalidnik написа: | baroveca написа: | Съжалявам за офтопика,но в кой клас се учат такива задачи?Ако е за 10 клас знам,че [tex]lg[/tex] азначава десетичен логъритъм.А в този случай като имаме
[tex]10^{lg^2x-3}[/tex] и ще стане само 2х-3,нали?Или греша? |
Двойката е степен на логаритъма,не е в аргумента |
Ами то не си личи много.Или аз ослепявам или не се вижда много добре.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:33 pm Заглавие: |
|
|
Ослепяваш!
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martin123456 Фен на форума
Регистриран на: 23 Oct 2009 Мнения: 533
гласове: 15
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 10:57 pm Заглавие: Re: Уравнение |
|
|
ганка симеонова написа: | [tex]10^{lg^2x-3}+x(lg^2x-2lgx-3)=x^2 [/tex] |
ех, трудна задача
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 11:14 pm Заглавие: |
|
|
Готина задача
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Sat Dec 19, 2009 10:31 am Заглавие: |
|
|
[tex]10 ^ { \lg ^ 2 x - 3} + x ( \lg ^ 2 x - 2\lg x - 3 ) = x^2[/tex]
Очевидно дефиниционната област за [tex]x[/tex] е [tex]x \in (0;+\infty)[/tex]. Полагаме [tex]\lg x = u \Leftrightarrow x = 10^u[/tex]. Така получаваме новото (равносилно с изходното) уравнение
[tex]10^{u^2-3}+10^u(u^2-2u-3)=(10^u)^2 \Leftrightarrow 10^{u^2-3}+10^u(u^2-2u-3)=10^{2u}[/tex].
Разделяме двете му страни с числото [tex]10^{2u}>0[/tex] и достигаме до
[tex]10^{u^2-2u-3}+10^{-u}(u^2-2u-3)=1 \Leftrightarrow 10^{u^2-2u-3}+\frac{u^2-2u-3}{10^u}=1 \, (*)[/tex].
Върхът на параболата [tex]f(u)=u^2-2u-3[/tex] е в точката [tex]u_{0}=-\frac{b}{2a}=1[/tex]. От картинката се вижда, че при [tex]u<1[/tex] функцията [tex]f(u)[/tex] намалява, а при [tex]u>1[/tex] тя расте.
При [tex]u<1[/tex] функцията [tex]g(u)=10^{u^2-2u-3}[/tex] също намалява, а при [tex]u>1[/tex] [tex]g(u)[/tex] расте.
Аналогично − при [tex]u<1[/tex] функцията [tex]h(u)=10^u[/tex] намалява, а при [tex]u>1[/tex] расте.
Записваме уравнението [tex](*)[/tex] във вида [tex]g(u)+\frac{f(u)}{h(u)}=1[/tex]. Така при [tex]u<1[/tex] лявата страна [tex]g(u)+\frac{f(u)}{h(u)}[/tex] е намаляваща функция (сборът, разликата, произведението и частното на монотонни функции е също монотонна функция), а дясната страна е константа. Тогава решението е само едно. Непосредствено се проверява, че това е [tex]u=-1[/tex], откъдето [tex]x=\frac{1}{10}[/tex]. За другия случай е аналогично − при [tex]u>1[/tex] в лявата страна на уравнението стои растяща функция, а отдясно − константа. И сега решението е единствено. Проверява се, че това е [tex]u=3 \Rightarrow x=1000[/tex].
Description: |
|
Големина на файла: |
9.9 KB |
Видяна: |
2633 пъти(s) |
|
Description: |
|
Големина на файла: |
8.17 KB |
Видяна: |
2632 пъти(s) |
|
Description: |
|
Големина на файла: |
9.98 KB |
Видяна: |
2632 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
baroveca Напреднал
Регистриран на: 26 Feb 2009 Мнения: 347
гласове: 14
|
Пуснато на: Sat Dec 19, 2009 11:42 am Заглавие: |
|
|
Значи аз ще предложа решение малко по-различно от това на Spider Iovkov.
[tex]10 ^ { \lg ^ 2 x - 3} + x ( \lg ^ 2 x - 2\lg x - 3 ) = x^2[/tex]
Полагаме [tex]lgx=a[/tex] и получаваме
[tex]10^{a^2-3}+10^a(a^2-2x-3)=10^2^a[/tex] Разделяме на [tex]10^{2a}[/tex]
[tex]10^{a^2-2a-3}+\frac{a^2-2a-3}{10^a } =1[/tex]
Полагаме [tex]a^2-2a-3=y[/tex] и получаваме
[tex]10^y+\frac{y}{10 ^ a } =1[/tex] Уравнението е изпълнено тогава и само тогава,когато у=0. Исега се връщаме към полагането
[tex]a^2-2a-3=0[/tex] [tex]a_1=3, a_2=-1[/tex]
И сега се връщаме кън най-горното полагане [tex]x=10^a[/tex]
[tex]x=10^ {-1}=0,1[/tex]
[tex]x=10^3=1000[/tex]
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Sat Dec 19, 2009 2:53 pm Заглавие: |
|
|
Решението на Йовков е супер
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sat Dec 19, 2009 6:54 pm Заглавие: |
|
|
baroveca написа: | [tex]10^y+\frac{y}{10 ^ a } =1[/tex] Уравнението е изпълнено тогава и само тогава,когато у=0. Исега се връщаме към полагането
|
За това ти взимам 2 точки :] Трябва да го докажеш, което никак не е сложно.
Ако y>0, то 10y>1, => 10y+... >1+... >1 , откъдето не е изпълнено
Ако y<0, то 10y<1 => 10y-...<1-...<1, откъдето твърдението отново не е изпълнено. с това у=0 е единствено решение. С тази забележка решението на баровеца цепи мрака.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|