Регистрирайте сеРегистрирайте се

Уравнение


 
   Форум за математика Форуми -> Логаритми
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 8:33 pm    Заглавие: Уравнение

[tex]10^{lg^2x-3}+x(lg^2x-2lgx-3)=x^2 [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
baroveca
Напреднал


Регистриран на: 26 Feb 2009
Мнения: 347

Репутация: 16.2Репутация: 16.2
гласове: 14

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:10 pm    Заглавие:

Съжалявам за офтопика,но в кой клас се учат такива задачи?Ако е за 10 клас знам,че [tex]lg[/tex] азначава десетичен логъритъм.А в този случай като имаме
[tex]10^{lg^2x-3}[/tex] и ще стане само 2х-3,нали?Или греша?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mathinvalidnik
Фен на форума


Регистриран на: 04 Jun 2008
Мнения: 577
Местожителство: Вкъщи
Репутация: 43.4Репутация: 43.4Репутация: 43.4Репутация: 43.4
гласове: 20

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:15 pm    Заглавие:

baroveca написа:
Съжалявам за офтопика,но в кой клас се учат такива задачи?Ако е за 10 клас знам,че [tex]lg[/tex] азначава десетичен логъритъм.А в този случай като имаме
[tex]10^{lg^2x-3}[/tex] и ще стане само 2х-3,нали?Или греша?


Двойката е степен на логаритъма,не е в аргумента
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:16 pm    Заглавие:

baroveca написа:
Съжалявам за офтопика,но в кой клас се учат такива задачи?Ако е за 10 клас знам,че [tex]lg[/tex] азначава десетичен логъритъм.А в този случай като имаме
[tex]10^{lg^2x-3}[/tex] и ще стане само 2х-3,нали?Или греша?

Грешиш.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
baroveca
Напреднал


Регистриран на: 26 Feb 2009
Мнения: 347

Репутация: 16.2Репутация: 16.2
гласове: 14

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:17 pm    Заглавие:

mathinvalidnik написа:
baroveca написа:
Съжалявам за офтопика,но в кой клас се учат такива задачи?Ако е за 10 клас знам,че [tex]lg[/tex] азначава десетичен логъритъм.А в този случай като имаме
[tex]10^{lg^2x-3}[/tex] и ще стане само 2х-3,нали?Или греша?


Двойката е степен на логаритъма,не е в аргумента

Ами то не си личи много.Или аз ослепявам или Laughing не се вижда много добре.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:33 pm    Заглавие:

Ослепяваш!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin123456
Фен на форума


Регистриран на: 23 Oct 2009
Мнения: 533

Репутация: 33.9Репутация: 33.9Репутация: 33.9
гласове: 15

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 10:57 pm    Заглавие: Re: Уравнение

ганка симеонова написа:
[tex]10^{lg^2x-3}+x(lg^2x-2lgx-3)=x^2 [/tex]

ех, трудна задача
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 11:14 pm    Заглавие:

Готина задача Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sat Dec 19, 2009 10:31 am    Заглавие:

[tex]10 ^ { \lg ^ 2 x - 3} + x ( \lg ^ 2 x - 2\lg x - 3 ) = x^2[/tex]

Очевидно дефиниционната област за [tex]x[/tex] е [tex]x \in (0;+\infty)[/tex]. Полагаме [tex]\lg x = u \Leftrightarrow x = 10^u[/tex]. Така получаваме новото (равносилно с изходното) уравнение

[tex]10^{u^2-3}+10^u(u^2-2u-3)=(10^u)^2 \Leftrightarrow 10^{u^2-3}+10^u(u^2-2u-3)=10^{2u}[/tex].

Разделяме двете му страни с числото [tex]10^{2u}>0[/tex] и достигаме до

[tex]10^{u^2-2u-3}+10^{-u}(u^2-2u-3)=1 \Leftrightarrow 10^{u^2-2u-3}+\frac{u^2-2u-3}{10^u}=1 \, (*)[/tex].

Върхът на параболата [tex]f(u)=u^2-2u-3[/tex] е в точката [tex]u_{0}=-\frac{b}{2a}=1[/tex]. От картинката се вижда, че при [tex]u<1[/tex] функцията [tex]f(u)[/tex] намалява, а при [tex]u>1[/tex] тя расте.

При [tex]u<1[/tex] функцията [tex]g(u)=10^{u^2-2u-3}[/tex] също намалява, а при [tex]u>1[/tex] [tex]g(u)[/tex] расте.

Аналогично − при [tex]u<1[/tex] функцията [tex]h(u)=10^u[/tex] намалява, а при [tex]u>1[/tex] расте.

Записваме уравнението [tex](*)[/tex] във вида [tex]g(u)+\frac{f(u)}{h(u)}=1[/tex]. Така при [tex]u<1[/tex] лявата страна [tex]g(u)+\frac{f(u)}{h(u)}[/tex] е намаляваща функция (сборът, разликата, произведението и частното на монотонни функции е също монотонна функция), а дясната страна е константа. Тогава решението е само едно. Непосредствено се проверява, че това е [tex]u=-1[/tex], откъдето [tex]x=\frac{1}{10}[/tex]. За другия случай е аналогично − при [tex]u>1[/tex] в лявата страна на уравнението стои растяща функция, а отдясно − константа. И сега решението е единствено. Проверява се, че това е [tex]u=3 \Rightarrow x=1000[/tex].



Корени на уравнение.png
 Description:
 Големина на файла:  9.9 KB
 Видяна:  2633 пъти(s)

Корени на уравнение.png



Показателна функция.png
 Description:
 Големина на файла:  8.17 KB
 Видяна:  2632 пъти(s)

Показателна функция.png



Квадратна функция.png
 Description:
 Големина на файла:  9.98 KB
 Видяна:  2632 пъти(s)

Квадратна функция.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
baroveca
Напреднал


Регистриран на: 26 Feb 2009
Мнения: 347

Репутация: 16.2Репутация: 16.2
гласове: 14

МнениеПуснато на: Sat Dec 19, 2009 11:42 am    Заглавие:

Значи аз ще предложа решение малко по-различно от това на Spider Iovkov.
[tex]10 ^ { \lg ^ 2 x - 3} + x ( \lg ^ 2 x - 2\lg x - 3 ) = x^2[/tex]
Полагаме [tex]lgx=a[/tex] и получаваме
[tex]10^{a^2-3}+10^a(a^2-2x-3)=10^2^a[/tex] Разделяме на [tex]10^{2a}[/tex]

[tex]10^{a^2-2a-3}+\frac{a^2-2a-3}{10^a } =1[/tex]
Полагаме [tex]a^2-2a-3=y[/tex] и получаваме
[tex]10^y+\frac{y}{10 ^ a } =1[/tex] Уравнението е изпълнено тогава и само тогава,когато у=0. Исега се връщаме към полагането
[tex]a^2-2a-3=0[/tex] [tex]a_1=3, a_2=-1[/tex]
И сега се връщаме кън най-горното полагане [tex]x=10^a[/tex]
[tex]x=10^ {-1}=0,1[/tex]
[tex]x=10^3=1000[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sat Dec 19, 2009 2:53 pm    Заглавие:

Решението на Йовков е супер
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sat Dec 19, 2009 6:54 pm    Заглавие:

baroveca написа:
[tex]10^y+\frac{y}{10 ^ a } =1[/tex] Уравнението е изпълнено тогава и само тогава,когато у=0. Исега се връщаме към полагането

За това ти взимам 2 точки :] Трябва да го докажеш, което никак не е сложно.
Ако y>0, то 10y>1, => 10y+... >1+... >1 , откъдето не е изпълнено

Ако y<0, то 10y<1 => 10y-...<1-...<1, откъдето твърдението отново не е изпълнено. с това у=0 е единствено решение. С тази забележка решението на баровеца цепи мрака. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Логаритми Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.