Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Lorenco Начинаещ
Регистриран на: 17 Dec 2009 Мнения: 3
|
Пуснато на: Thu Dec 17, 2009 8:03 pm Заглавие: Правило на Лопитал? |
|
|
Ако при х->a или x->∞ ,функциите клонят към 0 или ∞,прилагаме правилото на Лопитал.
Дотук добре,само не ми стана ясно кога дадена функция клони към 0 или към ∞.
Дадени са примери:
Lim(при х->0) = ln.x/cotg.x
за този израз е дадено че се получава ∞/∞.Е как се получава така,при положение че всяко число,умножено по 0 дава нула.Следователно Ln.0/cotg.0 = 0/0(а не ∞/∞).Как се получава това?
Друг пример :
lim(при x->o) [1/x(na stepen tgx)].Получава се ∞(на 0 степен).Е как като 1/0 - на нула не се дели и се получава ∞ - мога да го приема.Е защо тогава tgx клони към 0 при положение че е триногометрична функция а в горния пример cotgx клони към ∞ не към 0.Изобщо има ли някакви правила,по които да разбера дали дадена функция клони към ∞ или към 0.Много съм объркан,моля помогнете.Благодаря |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martin123456 Фен на форума
Регистриран на: 23 Oct 2009 Мнения: 533
гласове: 15
|
Пуснато на: Thu Dec 17, 2009 8:39 pm Заглавие: Re: Правило на Лопитал? |
|
|
не е ln.x, a e ln(x)
ln е функция, а x и е аргумент
[tex]lim_{x \rightarrow 0}\ln{x} \rightarrow -\infty[/tex]
[tex]lim_{x \rightarrow 0}cotgx \rightarrow +-\infty[/tex]
ето защо изразът е [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex]
за такива изрази можем да приложим правилото на лопитал, а именно че търсената граница е границата на производната на числителя върху производната на знаменателя:
[tex]\lim{x \rightarrow 0}\frac{\ln{x}}{cotgx}=\frac{lim_{x \rightarrow 0}\ln{x}}{lim_{x \rightarrow 0}cotgx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(\ln{x})'}{(ctgx)'}=\lim_{x \rightarrow 0}-\frac{x^2+1}{x}=-\frac{\lim_{x \rightarrow 0}(x^2+1)}{\lim_{x \rightarrow 0}x}=\frac{1}{0}=\infty[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Thu Dec 17, 2009 9:01 pm Заглавие: |
|
|
Мартин, сбъркал си отговора на границата. |
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Thu Dec 17, 2009 9:52 pm Заглавие: |
|
|
Сбъркал е производната на котангенса. |
|
Върнете се в началото |
|
|
martin123456 Фен на форума
Регистриран на: 23 Oct 2009 Мнения: 533
гласове: 15
|
Пуснато на: Thu Dec 17, 2009 9:57 pm Заглавие: |
|
|
а да, помислих че е arcctg |
|
Върнете се в началото |
|
|
Lorenco Начинаещ
Регистриран на: 17 Dec 2009 Мнения: 3
|
Пуснато на: Thu Dec 17, 2009 11:37 pm Заглавие: |
|
|
благодаря но не отговорихте на главния ми въпрос:
Как да разбера кое клони към безкрайност и кое клони към нула |
|
Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009 Мнения: 394
гласове: 10
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 8:46 am Заглавие: |
|
|
Lorenco написа: | благодаря но не отговорихте на главния ми въпрос:
Как да разбера кое клони към безкрайност и кое клони към нула |
С припомняне свойствата на елементарните функции. |
|
Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008 Мнения: 5985 Местожителство: софия гласове: 298
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 8:55 am Заглавие: Re: Правило на Лопитал? |
|
|
Lorenco написа: | Ако при х->a или x->∞ ,функциите клонят към 0 или ∞,прилагаме правилото на Лопитал.
Дотук добре,само не ми стана ясно кога дадена функция клони към 0 или към ∞.
Дадени са примери:
Lim(при х->0) = ln.x/cotg.x
за този израз е дадено че се получава ∞/∞.Е как се получава така,при положение че всяко число,умножено по 0 дава нула.Следователно Ln.0/cotg.0 = 0/0(а не ∞/∞).Как се получава това?
|
Защо си сложил знак за умножение след функциите логаритъм и котангенс?
И май умножаваш ? Ако е така, направо не ти завиждам |
|
Върнете се в началото |
|
|
Spider Iovkov VIP
Регистриран на: 12 Jan 2007 Мнения: 1273
гласове: 129
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:43 am Заглавие: |
|
|
Зад. 1. [tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x-x_{0}}[/tex]
При директно заместване на [tex]x[/tex] с [tex]x_{0}[/tex] какво сe получава − [tex]\frac{\ln x_{0} - \ln x_{0}}{x_{0}-x_{0}}[/tex], което дава чиста неопределеност [tex]\left [ \frac{0}{0} \right ][/tex]. Това ни дава правото да приложим теоремата на Лопитал, получаваме
[tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(\ln x)'-(\ln x_{0})'}{x'-x_{0}'} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{x}[/tex].
Сега вече след пряк граничен преход нямаме никакви проблеми − [tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x-x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}[/tex]. Тук отчитаме, че [tex]x_{0}>0[/tex] (защото участва в логаритъма).
Зад. 2. [tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( cos {\frac{5}{x}} \right ) ^ {3x^2}[/tex].
Ако направо заместим, достигаме до [tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( cos {\frac{5}{x}} \right ) ^ {3x^2}=\left ( cos {\frac{5}{+\infty}}\right ) ^ {3.+\infty}[/tex]. Но [tex]\frac{5}{+\infty} \to 0[/tex], т. е. границата ни всъщност добива вида
[tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( cos 0 \right ) ^ {+\infty} = \left [ 1^{+\infty} \right ][/tex].
Това е неопределеността. Има начин да се избавим от нея. За целта полагаме [tex]\frac{5}{x}=t \Leftrightarrow x=\frac{5}{t}[/tex] и [tex]x \to +\infty \Leftrightarrow t \to 0[/tex]. Така получаваме
[tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( cos {\frac{5}{x}} \right ) ^ {3x^2} = \lim_{t \to 0} \left ( cos t \right ) ^ {3 \left ( \frac{5}{t} \right ) ^ 2} \, (*)[/tex].
Неопределеността продължава да е [tex]\left [ 1^{+\infty} \right ][/tex]. Не можем да действаме с теоремите на Лопитал (не се получават исканите неопределености). Ще използваме един специален метод за намиране на граници от този тип. И преди съм го казвал, но ще го повторя. Ако имаме [tex]\lim_{x \to x_{0}} f(x) = 1[/tex] и [tex]\lim_{x \to x_{0}} g(x) = +\infty[/tex], то границата [tex]\lim_{x \to x_{0}} \left ( f(x) \right) ^ {g(x)}[/tex] е равна на [tex]e^a[/tex], където [tex]a = \lim_{x \to x_{0}} g(x) \left ( f(x)-1 \right )[/tex]. Да пресметнем [tex]a[/tex], имаме
[tex]a = \lim_{t \to 0} 3 \left ( \frac{5}{t} \right ) ^ 2 \left ( cos t - 1 \right ) = -75 \lim_{t \to 0} \frac{1 - cos t }{t^2}[/tex].
Очевидно при заместване на [tex]t[/tex] с [tex]0[/tex] пак стигаме до неопределеност − [tex]\frac{1 - cos 0^\circ}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}[/tex]. Тук можем да действаме с правилото на Лопитал, а може и без него − използвайки тригонометрични зависимости. Знаем, че
[tex]1 - cos t = 1 - \left ( cos^2 {\frac{t}{2}} - sin^2 {\frac{t}{2}} \right ) = 1 - cos^2 {\frac{t}{2}} + sin^2 {\frac{t}{2}} = sin^2 {\frac{t}{2}} + sin^2 {\frac{t}{2}} = 2 sin^2 {\frac{t}{2}}[/tex].
Така лесно определяме, че
[tex]-75 \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos t }{t^2} = -75 \lim_{t \to 0} \frac{2 sin^2 {\frac{t}{2}}}{t^2} = -75.2 \lim_{t \to 0} \frac{sin {\frac{t}{2}}}{t} \lim_{t \to 0} \frac{sin {\frac{t}{2}}}{t}[/tex].
В последните две граници умножаваме и делим на [tex]2[/tex] − [tex]-75.2 \lim_{t \to 0} .\frac{sin {\frac{t}{2}}}{2\frac{t}{2}} . \lim_{t \to 0} .\frac{sin {\frac{t}{2}}}{2\frac{t}{2}} = -75.2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \Leftrightarrow a = -\frac{75}{2}[/tex]. Тук използваме, че [tex]\lim_{v(x) \to 0} \frac{sin v(x)}{v(x)} = 1[/tex].
Крайният отговор за границата [tex](*)[/tex] е [tex]e^a=e^{-\frac{75}{2}}=\frac{1}{e^{37}} \sqrt{\frac{1}{e}}[/tex].
Зад. 3. [tex]\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1 + \tan x }{1 + sin x } \right ) ^{\frac{1}{sin^3 x}}[/tex]
Директният граничен преход води до [tex]\left ( \frac{1 + \tan 0^\circ }{1 + sin 0^\circ} \right ) ^ {\frac{1}{sin 0^\circ}} = \left ( \frac{1+0}{1+0} \right ) ^ {\frac{1}{0}} = \left [ 1^{\infty}\right ][/tex]. На помощ ни идва хубавата теорема от предната задача −
[tex]\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1 + \tan x }{1 + sin x } \right ) ^{\frac{1}{sin^3 x}} = e^a, \, a = \lim_{x \to 0} \frac{1}{sin^3 x} \left ( \frac{1 + \tan x }{1 + sin x } - 1 \right )[/tex].
Границата [tex]a[/tex] се изчислява лесно −
[tex]a = \lim_{x \to 0}\frac{1}{sin^3 x} . \frac{1 + \tan x - 1 - sin x }{1 + sin x } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{sin^3 x} . \frac{\tan x - sin x }{1 + sin x }[/tex].
Но [tex]\tan x - sin x = \frac{sin x}{cos x} - sin x = sin x \left ( \frac{1}{cos x} - 1 \right ) = \frac{sin x (1 - cos x )}{cos x} \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow a = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cancel {sin x}}.\frac{1}{sin^2 x}. \frac{1}{1 + sin x } . \frac{\cancel {sin x} (1 - cos x )}{cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x }{sin^2 x (1 + sin x ) cos x }[/tex].
От тъждеството [tex]sin^2 x + cos^2 x = 1[/tex] имаме [tex]sin^2 x = 1 - cos^2 x = (1 + cos x ) (1 - cos x )[/tex]. Така
[tex]a = \lim_{x \to 0}\frac{\cancel{1 - cos x} }{(1 + cos x ) \cancel {(1 - cos x )} (1 + sin x ) cos x } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + sin x ) (1 + cos x ) cos x }[/tex].
Вече нямаме никакви проблеми, заместваме с [tex]0[/tex] и [tex]a = \frac{1}{(1 + sin 0^\circ ) (1 + cos 0^\circ ) cos 0^\circ} \Leftrightarrow a = \frac{1}{1.2.1} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}[/tex]. Оттук и крайния резултат на задачата − [tex]\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1 + \tan x }{1 + sin x } \right ) ^{\frac{1}{sin^3 x}} = e^a = \sqrt{e}[/tex].
Дано си разбрал отговора на въпроса си, . |
|
Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009 Мнения: 394
гласове: 10
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 10:09 am Заглавие: Re: Правило на Лопитал? |
|
|
ганка симеонова написа: | Lorenco написа: | Ако при х->a или x->∞ ,функциите клонят към 0 или ∞,прилагаме правилото на Лопитал.
Дотук добре,само не ми стана ясно кога дадена функция клони към 0 или към ∞.
Дадени са примери:
Lim(при х->0) = ln.x/cotg.x
за този израз е дадено че се получава ∞/∞.Е как се получава така,при положение че всяко число,умножено по 0 дава нула.Следователно Ln.0/cotg.0 = 0/0(а не ∞/∞).Как се получава това?
|
Защо си сложил знак за умножение след функциите логаритъм и котангенс?
И май умножаваш ? Ако е така, направо не ти завиждам |
И аз има такива съмнения. Според мен, Lorenco мисли, че ln, cotg са константи. , което е по-малкото зло . В противен случай, положението е много зле |
|
Върнете се в началото |
|
|
Lorenco Начинаещ
Регистриран на: 17 Dec 2009 Мнения: 3
|
Пуснато на: Fri Dec 18, 2009 7:45 pm Заглавие: |
|
|
Честно казано и аз незнам какво знам,по математика не съм учил сериозно от много време.Искам да разбера само кога дадена функция клони към нула и кога към безкрайност?Няма ли някакво правило,таблица,каквото и да е... |
|
Върнете се в началото |
|
|
bibo Начинаещ
Регистриран на: 23 Dec 2009 Мнения: 3
|
Пуснато на: Wed Dec 23, 2009 8:41 pm Заглавие: |
|
|
Златното правило е
ЗАВИСИ ОТ ФУНКЦИЯТА |
|
Върнете се в началото |
|
|
|