Регистрирайте сеРегистрирайте се

Правило на Лопитал?


 
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Lorenco
Начинаещ


Регистриран на: 17 Dec 2009
Мнения: 3


МнениеПуснато на: Thu Dec 17, 2009 8:03 pm    Заглавие: Правило на Лопитал?

Ако при х->a или x->∞ ,функциите клонят към 0 или ∞,прилагаме правилото на Лопитал.
Дотук добре,само не ми стана ясно кога дадена функция клони към 0 или към.
Дадени са примери:
Lim(при х->0) = ln.x/cotg.x
за този израз е дадено че се получава ∞/∞.Е как се получава така,при положение че всяко число,умножено по 0 дава нула.Следователно Ln.0/cotg.0 = 0/0(а не ∞/∞).Как се получава това?

Друг пример :
lim(при x->o) [1/x(na stepen tgx)].Получава се ∞(на 0 степен).Е как като 1/0 - на нула не се дели и се получава ∞ - мога да го приема.Е защо тогава tgx клони към 0 при положение че е триногометрична функция а в горния пример cotgx клони към ∞ не към 0.Изобщо има ли някакви правила,по които да разбера дали дадена функция клони към ∞ или към 0.Много съм объркан,моля помогнете.Благодаря
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin123456
Фен на форума


Регистриран на: 23 Oct 2009
Мнения: 533

Репутация: 33.9Репутация: 33.9Репутация: 33.9
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Dec 17, 2009 8:39 pm    Заглавие: Re: Правило на Лопитал?

не е ln.x, a e ln(x)
ln е функция, а x и е аргумент

[tex]lim_{x \rightarrow 0}\ln{x} \rightarrow -\infty[/tex]
[tex]lim_{x \rightarrow 0}cotgx \rightarrow +-\infty[/tex]
ето защо изразът е [tex]\frac{\infty}{\infty}[/tex]
за такива изрази можем да приложим правилото на лопитал, а именно че търсената граница е границата на производната на числителя върху производната на знаменателя:
[tex]\lim{x \rightarrow 0}\frac{\ln{x}}{cotgx}=\frac{lim_{x \rightarrow 0}\ln{x}}{lim_{x \rightarrow 0}cotgx}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{(\ln{x})'}{(ctgx)'}=\lim_{x \rightarrow 0}-\frac{x^2+1}{x}=-\frac{\lim_{x \rightarrow 0}(x^2+1)}{\lim_{x \rightarrow 0}x}=\frac{1}{0}=\infty[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Dec 17, 2009 9:01 pm    Заглавие:

Мартин, сбъркал си отговора на границата.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Thu Dec 17, 2009 9:52 pm    Заглавие:

Сбъркал е производната на котангенса.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin123456
Фен на форума


Регистриран на: 23 Oct 2009
Мнения: 533

Репутация: 33.9Репутация: 33.9Репутация: 33.9
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Dec 17, 2009 9:57 pm    Заглавие:

а да, помислих че е arcctg
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Lorenco
Начинаещ


Регистриран на: 17 Dec 2009
Мнения: 3


МнениеПуснато на: Thu Dec 17, 2009 11:37 pm    Заглавие:

благодаря но не отговорихте на главния ми въпрос:
Как да разбера кое клони към безкрайност и кое клони към нула
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 8:46 am    Заглавие:

Lorenco написа:
благодаря но не отговорихте на главния ми въпрос:
Как да разбера кое клони към безкрайност и кое клони към нула


С припомняне свойствата на елементарните функции.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 8:55 am    Заглавие: Re: Правило на Лопитал?

Lorenco написа:
Ако при х->a или x->∞ ,функциите клонят към 0 или ∞,прилагаме правилото на Лопитал.
Дотук добре,само не ми стана ясно кога дадена функция клони към 0 или към.
Дадени са примери:
Lim(при х->0) = ln.x/cotg.x
за този израз е дадено че се получава ∞/∞.Е как се получава така,при положение че всяко число,умножено по 0 дава нула.Следователно Ln.0/cotg.0 = 0/0(а не ∞/∞).Как се получава това?



Защо си сложил знак за умножение след функциите логаритъм и котангенс?
И май умножаваш ? Ако е така, направо не ти завиждам Crying or Very sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 9:43 am    Заглавие:

Зад. 1. [tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x-x_{0}}[/tex]

При директно заместване на [tex]x[/tex] с [tex]x_{0}[/tex] какво сe получава − [tex]\frac{\ln x_{0} - \ln x_{0}}{x_{0}-x_{0}}[/tex], което дава чиста неопределеност [tex]\left [ \frac{0}{0} \right ][/tex]. Това ни дава правото да приложим теоремата на Лопитал, получаваме

[tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{(\ln x)'-(\ln x_{0})'}{x'-x_{0}'} = \lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{x}[/tex].

Сега вече след пряк граничен преход нямаме никакви проблеми − [tex]\lim_{x \to x_{0}} \frac{\ln x - \ln x_{0}}{x-x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}[/tex]. Тук отчитаме, че [tex]x_{0}>0[/tex] (защото участва в логаритъма).

Зад. 2. [tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( cos {\frac{5}{x}} \right ) ^ {3x^2}[/tex].

Ако направо заместим, достигаме до [tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( cos {\frac{5}{x}} \right ) ^ {3x^2}=\left ( cos {\frac{5}{+\infty}}\right ) ^ {3.+\infty}[/tex]. Но [tex]\frac{5}{+\infty} \to 0[/tex], т. е. границата ни всъщност добива вида

[tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( cos 0 \right ) ^ {+\infty} = \left [ 1^{+\infty} \right ][/tex].

Това е неопределеността. Има начин да се избавим от нея. За целта полагаме [tex]\frac{5}{x}=t \Leftrightarrow x=\frac{5}{t}[/tex] и [tex]x \to +\infty \Leftrightarrow t \to 0[/tex]. Така получаваме

[tex]\lim_{x \to +\infty} \left ( cos {\frac{5}{x}} \right ) ^ {3x^2} = \lim_{t \to 0} \left ( cos t \right ) ^ {3 \left ( \frac{5}{t} \right ) ^ 2} \, (*)[/tex].

Неопределеността продължава да е [tex]\left [ 1^{+\infty} \right ][/tex]. Не можем да действаме с теоремите на Лопитал (не се получават исканите неопределености). Ще използваме един специален метод за намиране на граници от този тип. И преди съм го казвал, но ще го повторя. Ако имаме [tex]\lim_{x \to x_{0}} f(x) = 1[/tex] и [tex]\lim_{x \to x_{0}} g(x) = +\infty[/tex], то границата [tex]\lim_{x \to x_{0}} \left ( f(x) \right) ^ {g(x)}[/tex] е равна на [tex]e^a[/tex], където [tex]a = \lim_{x \to x_{0}} g(x) \left ( f(x)-1 \right )[/tex]. Да пресметнем [tex]a[/tex], имаме

[tex]a = \lim_{t \to 0} 3 \left ( \frac{5}{t} \right ) ^ 2 \left ( cos t - 1 \right ) = -75 \lim_{t \to 0} \frac{1 - cos t }{t^2}[/tex].

Очевидно при заместване на [tex]t[/tex] с [tex]0[/tex] пак стигаме до неопределеност − [tex]\frac{1 - cos 0^\circ}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}[/tex]. Тук можем да действаме с правилото на Лопитал, а може и без него − използвайки тригонометрични зависимости. Знаем, че

[tex]1 - cos t = 1 - \left ( cos^2 {\frac{t}{2}} - sin^2 {\frac{t}{2}} \right ) = 1 - cos^2 {\frac{t}{2}} + sin^2 {\frac{t}{2}} = sin^2 {\frac{t}{2}} + sin^2 {\frac{t}{2}} = 2 sin^2 {\frac{t}{2}}[/tex].

Така лесно определяме, че

[tex]-75 \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos t }{t^2} = -75 \lim_{t \to 0} \frac{2 sin^2 {\frac{t}{2}}}{t^2} = -75.2 \lim_{t \to 0} \frac{sin {\frac{t}{2}}}{t} \lim_{t \to 0} \frac{sin {\frac{t}{2}}}{t}[/tex].

В последните две граници умножаваме и делим на [tex]2[/tex] − [tex]-75.2 \lim_{t \to 0} .\frac{sin {\frac{t}{2}}}{2\frac{t}{2}} . \lim_{t \to 0} .\frac{sin {\frac{t}{2}}}{2\frac{t}{2}} = -75.2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \Leftrightarrow a = -\frac{75}{2}[/tex]. Тук използваме, че [tex]\lim_{v(x) \to 0} \frac{sin v(x)}{v(x)} = 1[/tex].

Крайният отговор за границата [tex](*)[/tex] е [tex]e^a=e^{-\frac{75}{2}}=\frac{1}{e^{37}} \sqrt{\frac{1}{e}}[/tex].

Зад. 3. [tex]\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1 + \tan x }{1 + sin x } \right ) ^{\frac{1}{sin^3 x}}[/tex]

Директният граничен преход води до [tex]\left ( \frac{1 + \tan 0^\circ }{1 + sin 0^\circ} \right ) ^ {\frac{1}{sin 0^\circ}} = \left ( \frac{1+0}{1+0} \right ) ^ {\frac{1}{0}} = \left [ 1^{\infty}\right ][/tex]. На помощ ни идва хубавата теорема от предната задача −

[tex]\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1 + \tan x }{1 + sin x } \right ) ^{\frac{1}{sin^3 x}} = e^a, \, a = \lim_{x \to 0} \frac{1}{sin^3 x} \left ( \frac{1 + \tan x }{1 + sin x } - 1 \right )[/tex].

Границата [tex]a[/tex] се изчислява лесно −

[tex]a = \lim_{x \to 0}\frac{1}{sin^3 x} . \frac{1 + \tan x - 1 - sin x }{1 + sin x } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{sin^3 x} . \frac{\tan x - sin x }{1 + sin x }[/tex].

Но [tex]\tan x - sin x = \frac{sin x}{cos x} - sin x = sin x \left ( \frac{1}{cos x} - 1 \right ) = \frac{sin x (1 - cos x )}{cos x} \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow a = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cancel {sin x}}.\frac{1}{sin^2 x}. \frac{1}{1 + sin x } . \frac{\cancel {sin x} (1 - cos x )}{cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x }{sin^2 x (1 + sin x ) cos x }[/tex].

От тъждеството [tex]sin^2 x + cos^2 x = 1[/tex] имаме [tex]sin^2 x = 1 - cos^2 x = (1 + cos x ) (1 - cos x )[/tex]. Така

[tex]a = \lim_{x \to 0}\frac{\cancel{1 - cos x} }{(1 + cos x ) \cancel {(1 - cos x )} (1 + sin x ) cos x } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + sin x ) (1 + cos x ) cos x }[/tex].

Вече нямаме никакви проблеми, заместваме с [tex]0[/tex] и [tex]a = \frac{1}{(1 + sin 0^\circ ) (1 + cos 0^\circ ) cos 0^\circ} \Leftrightarrow a = \frac{1}{1.2.1} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}[/tex]. Оттук и крайния резултат на задачата − [tex]\lim_{x \to 0} \left ( \frac{1 + \tan x }{1 + sin x } \right ) ^{\frac{1}{sin^3 x}} = e^a = \sqrt{e}[/tex].

Дано си разбрал отговора на въпроса си, Very Happy .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 10:09 am    Заглавие: Re: Правило на Лопитал?

ганка симеонова написа:
Lorenco написа:
Ако при х->a или x->∞ ,функциите клонят към 0 или ∞,прилагаме правилото на Лопитал.
Дотук добре,само не ми стана ясно кога дадена функция клони към 0 или към.
Дадени са примери:
Lim(при х->0) = ln.x/cotg.x
за този израз е дадено че се получава ∞/∞.Е как се получава така,при положение че всяко число,умножено по 0 дава нула.Следователно Ln.0/cotg.0 = 0/0(а не ∞/∞).Как се получава това?



Защо си сложил знак за умножение след функциите логаритъм и котангенс?
И май умножаваш ? Ако е така, направо не ти завиждам Crying or Very sad


И аз има такива съмнения. Според мен, Lorenco мисли, че ln, cotg са константи. Shocked , което е по-малкото зло Laughing . В противен случай, положението е много зле Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Lorenco
Начинаещ


Регистриран на: 17 Dec 2009
Мнения: 3


МнениеПуснато на: Fri Dec 18, 2009 7:45 pm    Заглавие:

Честно казано и аз незнам какво знам,по математика не съм учил сериозно от много време.Искам да разбера само кога дадена функция клони към нула и кога към безкрайност?Няма ли някакво правило,таблица,каквото и да е...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
bibo
Начинаещ


Регистриран на: 23 Dec 2009
Мнения: 3


МнениеПуснато на: Wed Dec 23, 2009 8:41 pm    Заглавие:

Златното правило е


ЗАВИСИ ОТ ФУНКЦИЯТА
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Функции / Производни Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.