Една по-интересна задачка (показателно параметрично у-ние)

[adrenal1n]

(a-1).2^x + (a-1)2^-x = a
a.2^1+x + (a-1).2^1-x = 7a - 5

При кои "а" общият брой на реални и различни корени е 3 ?

На който му е интересно, може да се опита да я реши, ако довечера има отзиви, ще ви дам и отговора да сверите

[Реклама]

[martin123456]

това система ли е
или рреални решения на 1+реални решения на 2-брой общи реални

[martin123456]

полагаме [tex]y=2^x>0[/tex] - за 1 y има само едно x удовлетворяващо това равенство
1)[tex]a=0[/tex]=>уравненията са [tex]y+\frac{1}{y}=0[/tex] и [tex]\frac{2}{y}=5[/tex]. първото няма реални решения, а второто има 1 реално решение, което е и отрицателно
2)[tex]a=1[/tex]=>уравненията са [tex]0y+\frac{0}{y}=1[/tex] и [tex]2y=2[/tex], т.е. общо решения 0+1=1
3)[tex]a \not \in \{0,1}[/tex]. имаме следните уравнения
[tex]y^2-\frac{a}{a-1}y+1=0[/tex]
[tex]2ay^2-(7a-5)y+2a-2=0[/tex]
3.1)ако някое няма реални корени, то другото трябва да има 3 реални различни => невъзможно
3.2)ако някое има двоен корен, то другото трябва да има 2 различни реални корени, всеки от който е различен от този двоен корен + всички тези корени трябва да са положителни. това е лесен случай, понеже като се използва че дискриминантата е 0 при двоен корен може да се намери а и да се замести и да се види какво става
3.3) ако и двете имат по 2 реални корена.
трябва сред тях да има поне 3 положителни корена
освен това трябва
- ако положителните корени са 4, то 2 да са равни (един от едното уравнение, друг от другото)
- ако положителните корени са 3, то те трябва да са различни