Интересна задача с принцип на Дирихле

[Mechkov]

Нали се оплаквате, че не се дават интересни задачи. Ето тази върши работа:
Нека [tex]x_1, x_2, x_3 ... x_n[/tex] са реални числа и [tex]x_{1}^{2} + x_{2}^{2} +...+ x_{n}^{2} = 1[/tex]. Да се докаже, че за всяко цяло k ([tex]k \ge 2[/tex]), съществуват цели числа [tex]a_1, a_2, a_3 ... a_n[/tex] не всички равни на нула, така че [tex]|a_i| \le k-1, i = 1, 2, 3 ..., n[/tex], и е изпълнено неравенството [tex]|a_1x_1 + a_2x_2+...+a_nx_n| \le \frac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1} [/tex].

[Реклама]