Задачи за медицентър в триъгълник

[DesTinY]

---
Точките М,N,P са средите съответно на страните АВ,ВС,СА на триъгълника АВС. Докажете, че триъгълниците АВС и MNP имат общ медицентър.
---
Триъгълниците АВС и А₁В₁С₁ имат общ медицентър. Докажете, че [tex]\vec{AA_{1}}[/tex] + [tex]\vec{BB_{1}}[/tex] + [tex]\vec{CC_{1}}[/tex] = [tex]\vec{0}[/tex]

[Реклама]

[dim]

Първата задача е много очевидна. Страните на малкият триъгълник се явяват средни отсечки за големия, съответно медианите на големия раполовяват тези отсечки...и се явяват медиани на малкия.

За втората се използва, че ако G е медицентър за ▲ABC=>[tex]\vec{GA}+ \vec{GB}+\vec{GC}=0[/tex][tex](1)[/tex], което частен случай на едно по-общо твърдение, че за произволна точка [tex]O[/tex] е в сила: [tex]\vec{OG}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex]. В случая просто приемаме, че [tex]O\equiv G[/tex].

Като приложиме (1) и за другият триъгълник получаваме: [tex]\vec{GA_1}+ \vec{GB_1}+\vec{GC_1}=[/tex][tex](2)[/tex]. Сега като умножим (2) *|-1 и съберем с (1) и групираме получаваме:
[tex](\vec{A_1G}+\vec{GA})+(\vec{B_1G}+\vec{GB}) +(\vec{C_1G}+\vec{GC})=\vec{AA_{1}} + \vec{BB_{1}} + \vec{CC_{1}} = 0[/tex], което е търсеното.