Регистрирайте сеРегистрирайте се

Хубава граница


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Mon Dec 14, 2009 12:40 am    Заглавие: Хубава граница

Да се намери границата:
[tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a^i}[/tex]
Където а е естествено число, а > 1.

П.С. Много поздрави за stlyfisher Wink !
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Dec 14, 2009 2:03 am    Заглавие:

[tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a^i}=\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}+2a^{n-2}+...+ka^{n-k}+...+n}{a^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a^n+a^{n-1}+...+a-n}{a-1}}{a^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{a(a^n-1)-n(a-1)}{a^n(a-1)^2}=[/tex]

[tex]=\lim_{n \to \infty} (\frac{a}{(a-1)^2}-\frac{1}{a^{n-1}(a-1)^2}-\frac{n}{a^n(a-1)})=\frac{a}{(a-1)^2}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Dec 14, 2009 9:39 am    Заглавие: Re: Хубава граница

mkmarinov написа:
Да се намери границата:
[tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a^i}[/tex]
Където а е естествено число, а > 1.

П.С. Много поздрави за stlyfisher Wink !


Благодаря за поздравите Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Dec 14, 2009 11:47 am    Заглавие:

Всъщност аз не виждам причина за ограничението [tex]a\in N[/tex] и [tex]a>1[/tex]. Мисля, че границата би се запазила за всяко [tex]a\notin [-1,1][/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Mon Dec 14, 2009 9:30 pm    Заглавие:

Браво!
Друго решение? Wink

За ограниченията, ако [tex]|a|<1[/tex], граница няма. За другите си прав.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Dec 14, 2009 10:56 pm    Заглавие:

Ами май се сещам за друго решение. Това са всъщност суми от геометрични прогресии с намаляващ брой членове.
[tex]\frac{1}{a}+[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+[/tex]
[tex]\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+...[/tex]
..............................
[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{a^n}+....+\frac{1}{a^n}[/tex] (n пъти)

Сега като се сумират колоните трябва да се получи нещо:

[tex]\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}+...+\frac{\frac{1}{a^n}-\frac{1}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}=\frac{\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}-\frac{n}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}[/tex].....и получаваме същата граница.

Ти така ли я решаваш задачата?
Добра задача. Ти ли я измисли?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.