Хубава граница

[mkmarinov]

Да се намери границата:
[tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a^i}[/tex]
Където а е естествено число, а > 1.

П.С. Много поздрави за stlyfisher !

[Реклама]

[dim]

[tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a^i}=\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n-1}+2a^{n-2}+...+ka^{n-k}+...+n}{a^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a^n+a^{n-1}+...+a-n}{a-1}}{a^n}=\lim_{n \to \infty} \frac{a(a^n-1)-n(a-1)}{a^n(a-1)^2}=[/tex]

[tex]=\lim_{n \to \infty} (\frac{a}{(a-1)^2}-\frac{1}{a^{n-1}(a-1)^2}-\frac{n}{a^n(a-1)})=\frac{a}{(a-1)^2}[/tex]

[stflyfisher]

[dim]

Всъщност аз не виждам причина за ограничението [tex]a\in N[/tex] и [tex]a>1[/tex]. Мисля, че границата би се запазила за всяко [tex]a\notin [-1,1][/tex].

[mkmarinov]

Браво!
Друго решение?

За ограниченията, ако [tex]|a|<1[/tex], граница няма. За другите си прав.

[dim]

Ами май се сещам за друго решение. Това са всъщност суми от геометрични прогресии с намаляващ брой членове.
[tex]\frac{1}{a}+[/tex]
[tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+[/tex]
[tex]\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+...[/tex]
..............................
[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{a^n}+....+\frac{1}{a^n}[/tex] (n пъти)

Сега като се сумират колоните трябва да се получи нещо:

[tex]\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}+...+\frac{\frac{1}{a^n}-\frac{1}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}=\frac{\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}-\frac{n}{a^{n+1}}}{1-\frac{1}{a}}[/tex].....и получаваме същата граница.

Ти така ли я решаваш задачата?
Добра задача. Ти ли я измисли?