Регистрирайте сеРегистрирайте се

Геометрично Неравенство


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sun Dec 13, 2009 9:24 pm    Заглавие: Геометрично Неравенство

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] са страни на триъгълник, а [tex]p[/tex] и [tex]r[/tex] са съответно полупериметъра му и радиуса на вписаната му окръжност. Докажете, че
[tex]\sqrt{\frac{ab\left(p-c\right)}{p}}+\sqrt{\frac{ca\left(p-b\right)}{p}}+\sqrt{\frac{bc\left(p-a\right)}{p}}\ge 6r[/tex].
Задачата е от Олимпиадата в памет на Шаригин през 2009-та година. Намерих алгебрично доказателство, но съм почти сигурен, че има и чисто геометрично такова. Ще ми е интересно да го видя.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sun Dec 13, 2009 10:47 pm    Заглавие:

Аз я решавам по следният начин:
[tex]AM\ge GM[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{ab\left(p-c\right)}{p}}+\sqrt{\frac{ca\left(p-b\right)}{p}}+\sqrt{\frac{bc\left(p-a\right)}{p}}\ge 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2b^2c^2(p-a)(p-b)(p-c)}{p^3}}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{p}\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} } [/tex] [tex](*)[/tex]

Сега използвам, че: [tex]r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} [/tex], [tex]abc=4RS[/tex], [tex]p=\frac{S}{r} [/tex] и замествам в [tex](*)[/tex]:
[tex]3\sqrt[3]{\frac{abc}{p}\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} }=3\sqrt[3]{4Rr^2}\ge 3\sqrt[3]{8r^3}=6r [/tex]. Последното неравенство следва от [tex]R\ge 2r[/tex]. Равенство имаме при равностранен триъгълник.
Аз мисля, че това не е изцяло алгебрично, защото се използват много геометрични зависимости, но сигурно може и да се открие още по-геометрично решение може би ако се използва по някакъв начин, че трите члена от лявата страна на условието са съоветно разстоянията от центъра на вписаната окръжност до върховете на триъгълника, но дори и тогава пак според мен трябва да се прибегне до формули и/или СА≥СГ.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ubuntu
Начинаещ


Регистриран на: 21 Nov 2009
Мнения: 9

Репутация: 2.9Репутация: 2.9
гласове: 2

МнениеПуснато на: Sun Dec 13, 2009 10:53 pm    Заглавие:

Мисля , че неравенството ти е еквивалентно на [tex]IC+IB+IA\ge 6r[/tex](не съм го проверявал).То е в сила за произволна точка в равнината на триъгълника.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sun Dec 13, 2009 10:58 pm    Заглавие:

Ами не го знаех това неравенсво, но щом е в сила и като използваме това което казах в края на предното си мнение ето, че се получава доста читаво геометрично решение. Вече въпросът е това твърдение, което използваме за произволна точка дали се доказва достъчно лесно с някакви базови знания.


[tex]\sqrt{\frac{ab\left(p-c\right)}{p}}=CO[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{ca\left(p-b\right)}{p}}=BO[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{bc\left(p-a\right)}{p}}=AO[/tex]
ако [tex]O[/tex] е центърът на вписаната окръжност.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.