Геометрично Неравенство

[Saposto_MM]

Нека [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] са страни на триъгълник, а [tex]p[/tex] и [tex]r[/tex] са съответно полупериметъра му и радиуса на вписаната му окръжност. Докажете, че
[tex]\sqrt{\frac{ab\left(p-c\right)}{p}}+\sqrt{\frac{ca\left(p-b\right)}{p}}+\sqrt{\frac{bc\left(p-a\right)}{p}}\ge 6r[/tex].
Задачата е от Олимпиадата в памет на Шаригин през 2009-та година. Намерих алгебрично доказателство, но съм почти сигурен, че има и чисто геометрично такова. Ще ми е интересно да го видя.

[Реклама]

[dim]

Аз я решавам по следният начин:
[tex]AM\ge GM[/tex]

[tex]\sqrt{\frac{ab\left(p-c\right)}{p}}+\sqrt{\frac{ca\left(p-b\right)}{p}}+\sqrt{\frac{bc\left(p-a\right)}{p}}\ge 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2b^2c^2(p-a)(p-b)(p-c)}{p^3}}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{p}\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} } [/tex] [tex](*)[/tex]

Сега използвам, че: [tex]r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} [/tex], [tex]abc=4RS[/tex], [tex]p=\frac{S}{r} [/tex] и замествам в [tex](*)[/tex]:
[tex]3\sqrt[3]{\frac{abc}{p}\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} }=3\sqrt[3]{4Rr^2}\ge 3\sqrt[3]{8r^3}=6r [/tex]. Последното неравенство следва от [tex]R\ge 2r[/tex]. Равенство имаме при равностранен триъгълник.
Аз мисля, че това не е изцяло алгебрично, защото се използват много геометрични зависимости, но сигурно може и да се открие още по-геометрично решение може би ако се използва по някакъв начин, че трите члена от лявата страна на условието са съоветно разстоянията от центъра на вписаната окръжност до върховете на триъгълника, но дори и тогава пак според мен трябва да се прибегне до формули и/или СА≥СГ.

[ubuntu]

Мисля , че неравенството ти е еквивалентно на [tex]IC+IB+IA\ge 6r[/tex](не съм го проверявал).То е в сила за произволна точка в равнината на триъгълника.

[dim]

Ами не го знаех това неравенсво, но щом е в сила и като използваме това което казах в края на предното си мнение ето, че се получава доста читаво геометрично решение. Вече въпросът е това твърдение, което използваме за произволна точка дали се доказва достъчно лесно с някакви базови знания.


[tex]\sqrt{\frac{ab\left(p-c\right)}{p}}=CO[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{ca\left(p-b\right)}{p}}=BO[/tex]
[tex]\sqrt{\frac{bc\left(p-a\right)}{p}}=AO[/tex]
ако [tex]O[/tex] е центърът на вписаната окръжност.