Едно равенство

[r2d2]

Докажете:

[tex]p-\sqrt{3}(R+r)=8R\sin(30-A/2)\sin(30-B/2)\sin(30-C/2)[/tex]

A,B,C са ъглите на триъгълник, мерките са в градуси, другите означения са стандартни.

[Реклама]

[naitsirk]

Лесно следва, че дясната страна е равна на
[tex]2R(sin(\alpha -60)+sin(\beta -60)+sin(\gamma -60))=[/tex]
[tex]=Rsin(\alpha) +Rsin(\beta )+Rsin(\gamma )-R\sqrt{3}(cos(\alpha)+cos(\beta )+cos(\gamma ) )=[/tex]
[tex]=\frac{a+b+c}{2 } -R\sqrt{3}(cos(\alpha)+cos(\beta )+cos(\gamma ) ) [/tex]
[tex]=p-R\sqrt{3}(cos(\alpha)+cos(\beta )+cos(\gamma ) )[/tex]
Т.е. трябва да докажем, че:
[tex]p-R\sqrt{3}(cos(\alpha)+cos(\beta )+cos(\gamma ) )=p-\sqrt{3} (R+r)[/tex]
<=>
[tex]R(cos(\alpha)+cos(\beta )+cos(\gamma ) )=R+r[/tex]
<=>
[tex]R(cos(\alpha)+cos(\beta )+cos(\gamma )-1)=r[/tex]
Имайки предвид, че за ъгли в триъгълник е в сила:
[tex]cos(\alpha)+cos(\beta )+cos(\gamma )-1=4sin(\frac{\alpha }{2 } )sin(\frac{\beta }{2 } )sin(\frac{\gamma }{2 } )[/tex]
получаваме, че това което трябваше да докажем е равносилно на:
[tex]r=4Rsin(\frac{\alpha }{2 } )sin(\frac{\beta }{2 } )sin(\frac{\gamma }{2 } )[/tex], което е добре известно...