Задачки от Курсова работа

[acrobata0203]

Трябва да правим курсова по Висша ама нещо много ми куца тая математика
Пресметнете: [tex] (\frac{\sqrt{3}-i}{1+\sqrt{3i}})^9 [/tex]

Решете уравнението: [tex] x^3+2-2i=0 [/tex]

Но ако може и обяснение към решенията, че да ги разбера (обяснение като за по изостанал по математика)

[Реклама]

[nikko1]

За 1-вата. Разгледай [tex]d=\frac{\sqrt{3}-i}{1+\sqrt{3}i}=\frac{c_1}{c_2}[/tex]. Представи комплексните числа в числител и знаменател в тригонометричен вид. Ще получиш нещо такова [tex]d=\frac{|c_1|(\cos\varphi_1+i.\sin\varphi_1)}{|c_2|\cos\varphi_1+i.\sin\varphi_1)}=\frac{|c_1|}{|c_2|}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i.\sin(\varphi_1-\varphi_2))[/tex] и
[tex]d^9=\left(\frac{|c_1|}{|c_2|}\right)^9(\cos(9(\varphi_1-\varphi_2))+i.\sin(9(\varphi_1-\varphi_2))).[/tex]

За втората:
[tex]x^3=-2+2i[/tex] представяш в тригонометричен вид [tex]x^3=|c_3|(\cos\varphi_3+i\sin\varphi_3)[/tex] и ще имаш три решения:
[tex]x_k=\sqrt[3]{|c_3|}\left(\cos\frac{\varphi_3+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\varphi_3+2k\pi}{3}\right)[/tex] за [tex]k=1,\,2,\,3.[/tex]

[_sssss]

На първата не може ли да се освободим от знаменателя?
[tex]\(\frac{(\sqrt{3}-i)(1-\sqrt{3}i)}{1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)}\)^9[/tex]

[gdimkov]

Може. Тогава знаменателят ще бъде реално число и няма да създава неприятности. Но новият числител пак трябва да се представи в тригонометричен вид и да се приложи формулата за степенуване на такива числа.