Помощ за един интеграл

[Dark Angel]

Здравейте,
вече ставам доста нахален, но цяла вечер ме тормози края на един интеграл.
Интеграла е това....
[tex] \int_{}^{ }\frac{x}{x^{3}-1}.dx[/tex]
Докарал съм го донякъде, но след субституция и доста чоплене стигнах до тук....
[tex]....=\frac{1}{ 3} ln(x-1)-\frac{1}{ 3} \int_{}^{ } \frac{x-1}{x^{2}+x+1 }.dx [/tex]
Дотук много добре. Обаче след полагане получавам това....
[tex].... =-\frac{1}{3}\int_{}^{ } \frac{z.dz}{z^{2}+\frac{3}{4}}+\frac{1}{3}-\frac{3}{2 }\int_{}^{ }\frac{dz}{z^{2}+\frac{3}{4} } [/tex]
[tex]z=x+\frac{1}{2}[/tex]
Всичко хубаво... ясно ми е, че едното е [tex]ln[/tex] а другото [tex]arctan[/tex], но ме тормози как точно става. Имам и отговора на задачата и предполагам, че щом съм стигнал до тк бих могъл да спестя последния ред. Обаче все пак ми се иска да разбера какво точно се случва нататък.
Предварително благодаря за идеите.

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex]\int_{}^{ }\frac{zdz}{ z^2+\frac{3}{4 } } = \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{dz^2}{ { z^2+\frac{3}{4 } }} = \frac{1}{2 } \int_{}^{ } \frac{(dz^2+\frac{3}{4 }) }{ { z^2+\frac{3}{4 } }}=\frac{1}{ 2} ln(z^2+\frac{3}{ 4}) [/tex]

По втория- изнеси в знаменател като общ множител 3/4.
[tex]\int_{}^{ }\frac{dz}{ z^2+\frac{3}{4 } }=\frac{4}{3} \int_{}^{ } \frac{dz}{(\frac{2z}{ \sqrt{3} })^2+ 1} =\frac{2}{\sqrt{3} } \int_{}^{ } \frac{d\frac{2z}{\sqrt{3} } }{(\frac{2z}{ \sqrt{3} })^2+ 1}=\frac{2}{\sqrt{3} }arctg\frac{2z}{ \sqrt{3} } [/tex]

[Dark Angel]

Благодаря много.
Наистина не ми беше ясно как се получава корена. Мисля, че разбрах идеята.