"Почленно разлагане на дроби"

[Manwe]

Имам една интересна задача, мисля че спада към комплексния анализ. Имам функцията f(x)=[tex]\frac{1}{ 1+x^{4}}[/tex]. Трябва да намеря нещо наречено "Почленно разлагане на дроби" за въпросната функция. Не знам дали се изразявам правилно, но ето това е принципа: Ако имаме едно число [tex]\frac{1}{ x^{2}-1}[/tex], то разлагането му ще изглежда по начина: [tex]\frac{A}{x+1 } +\frac{B}{ x-1} =\frac{1}{x^{2}-1}[/tex]. Сравнявайки коефициентите намираме А и В и трябва да се получи: [tex]\frac{1}{2(x-1) } - \frac{1}{2(x+1) } = \frac{1}{x^{2}-1 } [/tex]. Търси се комплексното разлагане на функцията, уж не трябва да е много по особено, ама не мога да го докарам до отговор. Някой готов да помогне?

[Реклама]

[martin123456]

разлагаш знаменателят на неразложими над реалните числа полиноми
[tex]x^4+1=(x^2)^2+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)[/tex]
двата са неразложими над реалните числа
[tex]\frac{a}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{b}{x^2+\sqrt{2}x+1}=\frac{1}{x^4+1}[/tex]
[tex]x^2(a+b)+\sqrt{2}x(a-b)+a+b=1[/tex]
едно квадратно уравнение никога няма безброй мн корени => a+b=0
става [tex]2\sqrt{2}xa=1[/tex] да е вярно за всяко x
пак невъзможно

[Manwe]

Да ама на мен ми трябва комплексното разлагане. Мисля че знаменателят става: (x²-i)(x²+i) и после не съм сигурен че продължавайки с разлагането нещо ще се получи.

[martin123456]

ако продължиш разлагането трябва да стане
с корени на единицата
не помня формулата

[Kerry]

[tex]\frac{A}{x-\frac{sqrt{2}}{2}(1+i)}+\frac{B}{x-\frac{sqrt{2}}{2}(-1+i)}+\frac{C}{x-\frac{sqrt{2}}{2}(-1-i)}+\frac{D}{x-\frac{sqrt{2}}{2}(1-i)}=\frac{1}{x^4+1}[/tex]

[Manwe]

Е точно до там го докарах и аз, сега трябва да намеря A,B,C,D,E. И оттук започват големите сметки...

[Kerry]

Големи, големи ... Колко да са големи?

[tex] x_1=\frac{\sqrt {2}}{2}(1+i) \\ x_2=\frac{\sqrt {2}}{2}(-1+i) \\ x_3=\frac{\sqrt {2}}{2}(-1-i) \\ x_4=\frac{\sqrt {2}}{2}(1-i) \\ A (x-x_2)(x-x_3)(x-x_4) +B(x-x_1)(x-x_3)(x-x_4) +C(x-x_1)(x-x_2)(x-x_4)+D(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=1 \\ x=x_1 \rightarrow A=\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)}= \frac{1}{2 \sqrt{2}(-1+i)}\\ x=x_2 \rightarrow B=? \\ x=x_3 \rightarrow C=? \\ x=x_4 \rightarrow D=?[/tex]