Допирателна на функция

[Nerrow]

Плс помагайтее:
Да се намери лицето на триъгълника, образуван от координатните оси и допирателната към графиката на y=2/x - 8/(x^3) + x
в точка от нея с абциса x=2

Мерси мн!

[Реклама]

[omeganet]

Уравнението на допирателната към дадената функция в точка с абциса х = 2 изглежда по следния начин:

t: y = f'(2)(x - 2) + f(2)

Първата производна има следния вид:

f'(x) = -2/x² + 24 / x⁴ + 1

Остава само да заместиш със съответните стойности в уравнението на допирателната и след това за лицето на триъгълника намираш двата катета на триъгълника (защото той е правоъгълен) и го пресмяташ

[Nerrow]

Мерси мн! Аз бях забравил за тази формула и снощи я реших като представих допирателната като kx + n. Малко по-трудно се обяснява ам предполагам, че ще се получи същото.

[MauMyHkaTa]

Здравейте!
Имам няколко въпроса, първият от които е по задачата от постовете по-горе: след като заместим стойностите в уравнението на правата, от къде взимаме стойност за х, за да намерим y? Изобщо какви са разсъжденията точно тук ако може да ми обясните, че нещо не мога да.. "вдяна". Как трябва да постъпя, ако в същата задача имам произволна допирателна към графиката на ф-ята: y=1/x?
Какъв е алгоритъмът за решение на една такава задача: При кои стойности на p и q графиката на ф-ята: y=f(x)=x²+px+q се допира до права y=g(x)=3x-2 в точка с абсциса 0?
Началото на моите разсъждения (ако са верни) е следното: върхът на параболата е в точка с (абсциса или ордината??) -p/2. Ординатата на допирната точка между двете графики е -2 и понеже g`(x)=3 => <α=72°. Намирам също така и, че q=-2, замествайки стойностите за x=0 и y=-2 във f(x). Правилно ли постъпвам дотук и ако да, как да намеря и p?
Благодаря ви много за отделеното внимание!

[uktc]

В x₀=0, уравнението на допирателната към графиката на f(x) е
d(x)=px+q.
Ами значи за да е g(x) допирателна на f(x) в x₀=0, трябва двете прави да съвпадат, т.е. d(x)≡g(x), откъдето p=3, q=-2.

[MauMyHkaTa]

[uktc]

Така...
Да разгледаме т.нар. диференчно частно [f(x)-f(x₀)]/[x-x₀].
Пускам x-x₀ да клони към 0.
Значи [f(x)-f(x₀)]/[x-x₀]=f'(x₀)
Но точките x и x₀ са толкова близо, че на практика там функцията и допирателната имат едни и същи стойности. Нека допирателната е d(x). Получаваме:
[d(x)-f(x₀)]/[x-x₀]=f'(x₀)
Преобразуваме.
d(x)=f'(x₀)[x-x₀]+f(x₀). (1)
Последния ред е известен като формула за уравнение на допирателна в точка x₀ от графиката на функцията f(x).
Ами пресмятаме f'(x)=2x+p.
Сега заместваме в (1).

d(x)=[2x₀+p][x-x₀]+x₀²+px₀+q.
Това е уравнение на допирателната в точка x₀ от графиката на f(x).
Търсим уравнението в точката x₀=0. Ами заместваме отгоре с x₀=0.
Получаваме d(x)=px+q.
Искаме d(x)≡g(x), т.е. px+q≡3x-2, значи p=3, q=-2.
Получения резултат очевидно удовлетворява условията на задачата:

[MauMyHkaTa]

Мерси много за подробния отговор, мисля, че ми се изясни долу-горе решението. Само едно нещо още малко ем обърква - това, къде се взима "х" и къде - "х₀". Просто на места имам чувството, че х-ът става х₀. Но мисля, че го разбрах. Още веднъж благодарности!

[uktc]

Ако f(x)=x, то f(x₀)=x₀.
В случая f(x)=x²+px+q. Значи f(x₀)=x₀²+px₀+q.

[MauMyHkaTa]

Да, това ми е ясно. Ето какво точно имах предвид:

[name01]

Ако обяснението на uktc не ти допада, въпреки че е най-подробно, ето ти най-простата илюстрация в следната тема:

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2015

[tex]f'=\frac{\Delta y}{\Delta x}=k[/tex]

разликата по y e просто
[tex]\Delta x.k = -4.(-4)=16 \Rightarrow y=5+16=21,[/tex]
сега искаме y=0, за да видим х [tex]\Delta y=-5 \Rightarrow \Delta x= \frac{5}{4}\Rightarrow x=4+\frac{5}{4}=\frac{21}{4}[/tex]

Така вече изглежда по-лесно според мен

[MauMyHkaTa]

Благодаря ви искрено! Реших я, но по малко по-ралзличен начин. Получавам същите отговори.