Логаритмична функция

[thepunisher90]

у= x^arctg2x/1-x2

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Понеже не знам дали се търси производна, или цяло изследване, ще напиша само как се намира производната. Ако има още нещо, авторът нека да каже.

[tex]y=x^{\frac{\arctan 2x}{1-x^2}}[/tex]

Логаритмуваме двете страни на равенството, получаваме

[tex]\ln y = \ln x^{\frac{\arctan 2x}{1-x^2}} \Leftrightarrow \ln y = \frac{\arctan 2x}{1-x^2} \ln x[/tex].

Диференцираме и имаме

[tex](\ln y)' = ( \frac{\arctan 2x}{1-x^2} \ln x )' \Leftrightarrow \frac{1}{y}.y' = (\frac{\arctan 2x}{1-x^2})' \ln x + \frac{\arctan 2x}{1-x^2} ( \ln x )' \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{y}.y' = \frac{(\arctan 2x)' (1-x^2) - \arctan 2x (1-x^2)'}{(1-x^2)^2} \ln x + \frac{\arctan 2x}{1-x^2}.\frac{1}{x} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{y}.y' = \frac{\frac{2}{1+4x^2}.(1-x^2) + 2x \arctan 2x}{(1-x^2)^2} \ln x + \frac{\arctan 2x}{1-x^2}.\frac{1}{x} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{y}.y' = \ln x \frac{2(1-x^2) + 2x(1+4x^2) \arctan 2x}{(1+4x^2) (1-x^2)^2} + \frac{\arctan 2x}{x(1-x^2)} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow y' = x^{\frac{\arctan 2x}{1-x^2}} \left (\ln x \frac{2(1-x^2) + 2x(1+4x^2) \arctan 2x}{(1+4x^2) (1-x^2)^2} + \frac{\arctan 2x}{x(1-x^2)} \right )[/tex].

[thepunisher90]

да, само производна е, но във спорника ми се получава друг отговор като положим израза да е равен на y и се получава y(2lnx/1+х²+1/х.arctg2x/1-x²