Помогнете ми с интегралите

[thepunisher90]

1. ∫lnxdx
2. ∫x₂sinx.sin3xdx
3. ∫sin³x.cosxdx

[Реклама]

[drago_prd]

Първата с интегриране по части:
[tex]\int{\ln{x}}dx = \\ = x.\ln{x}-\int{x}d\ln{x} = \\ = x.\ln{x} - \int{\cancel{x}.\frac{1}{\cancel{x}}}dx = \\ = x.\ln{x}-\int{}dx = \\ = x.\ln{x}-x + C[/tex]

[drago_prd]

Ето третата:
[tex]\int{\sin^3{x}.\cos{x}dx} = \\ = \int{sin^3{x}}d\sin{x} = \\ = \frac{1}{4}.sin^4{x}+C[/tex]

Разгледай тук: http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=5504 г-жа Симеонова е обяснила как се решават такива тригонометрични интеграли.

А втората това ли е: [tex]\int{x^2.\sin{x}.\sin{3x}}dx[/tex]

[thepunisher90]

да, това е втората задача, извинявам се, че не съм я написал както трябла

[thepunisher90]

и ще ми обясниш ли по-обстойно как се решава третата, ще съм ти много благодарен, нищо не разбирам от тези интеграли

[Dark Angel]

[drago_prd]

Втората е малко по-дълга:
[tex]\int{x^2\sin{x}\sin{3x}dx} = [/tex]

Ще използваме следната тригонометрична формула:
[tex]\sin{\alpha}.\sin{\beta} = \frac{1}{2}\left[cos{(\alpha - \beta)}-cos{(\alpha + \beta)}\right][/tex]

[tex]= \int{x^2.\frac{1}{2}\left[cos{(x-3x)}-\cos{(x+3x)}\right]}dx[/tex]
Разкриваме скобите и изнасяме коефициента 1/2 пред интеграла, защото той е число.

[tex]=\frac{1}{2}\int{\left[x^2.cos{(-2x)}-x^2\cos{(4x)}\right]}dx = [/tex]
Разделяме на два интеграла, като използваме формулата:
[tex]\int{f(x)-g(x)}dx = \int{f(x)}dx-\int{g(x)}dx[/tex]


[tex]=\frac{1}{2}\int{x^2.cos{(-2x)}}dx - \frac{1}{2}\int{x^2\cos{(4x)}}dx = [/tex]

Сега ще решим двата интеграла по отделно и накрая ще съберем отговорите им. Така ще получим отговора на началния интеграл.

[tex]\int{x^2.cos{(-2x)}}dx = [/tex]
Тъй като косинусът е четна функция, а за четните функции знаем, че [tex]f(-x) = f(x)[/tex], то cos(-2x) = cos(2x)
[tex]= \int{x^2.cos{(2x)}}dx = [/tex]
Умножаваме по две и разделяме на две, така интеграла остава непроменен:
[tex]= \frac{2}{2}\int{x^2.cos{(2x)}}dx = [/tex]
Коефициентът може да се запише и под знака на диференциала (след d ) и интеграла ще остане същия:
[tex]= \frac{1}{2}\int{x^2.cos{(2x)}}d2x = [/tex]
Тъй като аргументът на функцията косинус (2x) и диференциала (това което стои след d) са еднакви, то можем да прехвърлим косинуса под знака на диференциала. Това става като намерим интеграла на cos(2x)d2x = sin(2x)
[tex]= \frac{1}{2}\int{x^2}d\sin{2x} = [/tex]

Сега интегрираме по части, т.е. използваме формулата:
[tex]\int{f(x)}dg(x) = f(x)g(x)-\int{g(x)}df(x)[/tex]

[tex]= \frac{1}{2}\left(x^2.\sin{2x}-\int{\sin{2x}}dx^2\right) = [/tex]
Сега ще прехвърлим x^2 под знака на интеграла това става като немерим производната
на x^2 = 2xdx
[tex]=\frac{1}{2}\left(x^2.\sin{2x}-\int{2x\sin{2x}}dx\right) = [/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\left(x^2.\sin{2x}-2\int{x\sin{2x}}dx\right) = [/tex]
Сега отново интегрираме по части:
[tex]=\frac{x^2.\sin{2x}}{2}-\frac{1}{2}.2.\frac{1}{2}\int{x\sin{2x}}d2x = [/tex]
[tex]=\frac{x^2.\sin{2x}}{2}+\frac{1}{2}\int{x}d\cos{2x} = [/tex]
[tex]=\frac{x^2.\sin{2x}}{2}+\frac{1}{2}\left(x\cos{2x}-\int{\cos{2x}}dx\right) = [/tex]
Умножаваме и делин на две.
[tex]=\frac{x^2.\sin{2x}}{2}+\frac{1}{2}\left(x\cos{2x}-\frac{1}{2}\int{\cos{2x}}d2x\right) = [/tex]
[tex]=\frac{x^2.\sin{2x}}{2}+\frac{1}{2}\left(x\cos{2x}-\frac{1}{2}\sin{2x}\right) + C = [/tex]
Разкриваме скобите.
[tex]=\frac{x^2.\sin{2x}}{2}+\frac{x\cos{2x}}{2}-\frac{1}{4}\sin{2x} + C[/tex]

Тева е половината задача.
Аналогично се решава и втората част и се получава:
[tex]\int{x^2\cos{4x}}dx =\frac{x^2\sin{4x}}{4} + \frac{x.cos{4x}}{8}- \farc{\sin{4x}}{32} +C [/tex]
(Пробвай се да го решиш. Ства по същия начин като горното)


Сега събираме отговорите на двата интеграла:

[tex]\int{x^2\sin{x}\sin{3x}dx} = [/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int{x^2.cos{(-2x)}}dx - \frac{1}{2}\int{x^2\cos{(4x)}}dx = [/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2.\sin{2x}}{2}+\frac{x\cos{2x}}{2}-\frac{1}{4}\sin{2x}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{x^2\sin{4x}}{4} + \frac{x.cos{4x}}{8}- \frac{\sin{4x}}{32}\right) + C = [/tex]

[tex]=\frac{x^2.\sin{2x}}{4}+\frac{x\cos{2x}}{4}-\frac{1}{8}\sin{2x} - \frac{x^2\sin{4x}}{8}- \frac{x.cos{4x}}{16}+ \frac{\sin{4x}}{64} + C = [/tex]

Сега можем да извършим допълнителни преобразувания като изнесем общ множител и получаваме:
[tex]=\frac{x^2}{8}\left(2\sin{2x}-\sin{4x}\right) + \frac{x}{4}\left(4\cos{2x}-\cos{4x}\right)-\frac{1}{64}\left(8sin{2x}-sin{4x}\right) + C[/tex]

[drago_prd]

Сега ще се опитам да обясня за третия:

Ами когато интегрираш функцията

[tex]\int{sin^3{x}\cos{x}dx}[/tex]

можеш да прехвърлис под знака на фиференциала cos x
Това става(, както ти обясних в предния пост и както е показано на схемата) като намерим интеграла на cos x = sin x
т.е.

[tex]\int{sin^3{x}d(\small{\int{\cos{x}}dx})} = \\ = \int{sin^3{x}d\sin{x}}[/tex]

Сега да разгледаме следния пример:
[tex]\int{x^3}dx = [/tex]
той е равен на:
[tex]\frac{x^4}{4} + C[/tex]

Аналогично ако имаме някаква функция на степен спрямо функцията то е валидна същата формула.
[tex]\int{f(x)^3}df(x) = \\ =\frac{f(x)^4}{4} + C[/tex]

Надявам се да ти стана ясно и също се надявам, че съм ти помогнал.

В нашият случай [tex]f(x) = \sin{x}[/tex]
[tex]\int{\sin^3{x}}dsin{x} = \\ =\frac{\sin^4{x}}{4} + C[/tex]

[thepunisher90]

Отговорът в сборника на третата задаче дето си я решил не е същия:
отговора е 1/8х²(2sin2x-4x)+1/16х(4cos2x-cos4x)-1/64(8sin2x-sin4x) + С

[drago_prd]

Поправих го.

Благодаря за корекция! Бях сбъркал един минус тригонометричната формула в началото. И поупростих още израза за да получа точно този, който е в учебника ти.


Успех!!!