Интересна задача

[mathinvalidnik]

Намерете най-малката стойност на параметъра p,за която екстремумите на ф-ята [tex]f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+log_{3}p[/tex] и стойността й при x=2 ,взети в някакъв ред образуват геометрична прогресия.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Първо пресмятаме [tex]f(2)=2+ \log_{3}p[/tex]. Производната е [tex]f'(x)=3x^2-12x+9 \Leftrightarrow f'(x)=(x-1)(x-3)[/tex]. Тогава екстремумите са само в тези две точки. Намираме, че [tex]f(1)=4+ \log_{3}p[/tex] и [tex]f(3)= \log_{3}p[/tex]. При [tex]p \in (0;+\infty)[/tex] всяка една от тези три функционални стойности може да бъде средногеометрична на останалите две. Тогава:
– [tex]f(2), \, f(1), \, f(3) \Rightarrow (4+\log_{3}p)^2=(2+\log_{3}p) \log_{3}p[/tex]; оттук [tex]\log_{3}p=-\frac{8}{3} \Leftrightarrow p=\frac{1}{9}\sqrt[3]{\frac{1}{9}}[/tex];
– [tex]f(1), \, f(2), \, f(3) \Rightarrow (2+\log_{3}p)^2=(4+\log_{3}p) \log_{3}p[/tex], което няма корени;
– [tex]f(1), \, f(3), \, f(2) \Rightarrow (\log_{3}p)^2=(4+\log_{3}p)(2+\log_{3}p) \Leftrightarrow p=\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}[/tex].