Малко помощ за интеграли

[Dark Angel]

Здравейте,
моля ако може малко помощ с един интеграл. Не искам да ми се решава задачата, просто не мога да схвана особено добре формулата за интегриране по части. Ако може малко разяснение. Развивам си задачата до един момент и нататък някъде ми се губи по трасето U и V.
[tex] \int_{}^{ } = u.v'.dx=u.v-\int_{}^{ }v.u'.dx [/tex]

Задачата ми е следната...

[tex] \int_{}^{ } =x^{2}.sin2x.dx=\frac{1}{2 } \int_{}^{ }x^{2}.d-cos2x=-\frac{1}{2 }x^{2}.cos2x-\frac{1}{2 }\int_{}^{ }-cos2x.2x.dx [/tex]

И от тук нататък ми се губи вече U и V. Отговора го знам, сметнал съм го с Математика, но нещо не мога да си обясня как да стигна до него. Въпросът ми е при това положение до което съм докарал задачата, как да продължа нататък. Ясно ми е, че трябва да изкарам още [tex] \frac{1}{2 } [/tex] пред интеграла, но нататък.....
Предварително благодаря за помощта.

[Реклама]

[martin123456]

[tex] \int{x^{2}.sin2x.dx}=\frac{1}{2} \int{x^{2}.d(-cos2x){=-\frac{1}{2 }x^{2}.cos2x-\frac{1}{2}\int{-cos2x.2x.dx} [/tex]
[tex]\int{2x\cos{2x}dx=\int{4xd\sin{2x}}=4x\sin{2x}-\int{4\sin{2x}dx}[/tex]

[stflyfisher]

[Dark Angel]

[tex]\int_{}^{ } = u.v'.dx=u.v-\int_{}^{ }v.u'.dx [/tex]

Продължавам решението нататък използвайки формулата....

[tex] \int_{}^{ } =x^{2}.sin2x.dx=\frac{1}{2 } \int_{}^{ }x^{2}.d-cos2x=-\frac{1}{2 }x^{2}.cos2x-\frac{1}{2 }\int_{}^{ }-sin2x.2x.dx=-\frac{1}{2 }x^{2}.cos2x+\frac{1}{4 }sin2x.2x-\frac{1}{4 } \int_{}^{ }sin2x.2.dx= [/tex]
[tex] =-\frac{1}{2 }x^{2}.cos2x+\frac{1}{4 }sin2x.2x-\frac{1}{4 }.\frac{1}{2 }.2 \int_{}^{ }sin2x.d2x=-\frac{1}{2 }x^{2}.cos2x+\frac{1}{4 }sin2x.2x-\frac{1}{4 }cos2x+C[/tex]

Брей да му се невиди успях да го докарам до отговора. Май успях да схвана формулата за интегриране по части. Не мога да кажа, че ми е кристално ясно, но поне завесата се повдигна... ще реша някоя друга задача от някой сборник и може би ще я схвана. Благодаря за помощта.

[addeqna]

можете ли да решите този интеграл
[tex] \int_{}^{ } \frac{arctg ^2 x}{1+x^2 }dx [/tex]

[martin123456]

[tex]\int{\arctan^{2}xd\arctan{x}}=\frac{\arctan^3{x}}{3}[/tex]

[Spider Iovkov]

[tex]\int{\frac{\arctan ^2 x}{1+x^2}} \operatorname{d}x[/tex]

Полагаме [tex]\arctan x = u \Leftrightarrow x = \tan u[/tex] и [tex]\operatorname{d}x = \operatorname{d}( \tan u ) = \frac{1}{cos^2 u} \operatorname{d} u[/tex]. Заместваме в интеграла и получаваме

[tex]\int{\frac{u^2}{ cos^2 u ( 1 + \tan ^ 2 u )}} \operatorname{d}u = \int{u^2} \operatorname{d}u = \int{\frac{3u^2}{3}} \operatorname{d}u = \frac{1}{3} \int{3u^2} \operatorname{d}u = \frac{1}{3} u^3 + \operatorname{C}[/tex], което всъщност е [tex]\frac{\arctan ^3 x}{3} + \operatorname{C}[/tex].

Тук отчитаме, че [tex]cos^2 u ( 1 + \tan ^2 u ) = 1[/tex].

[ганка симеонова]

[addeqna]

[Dark Angel]