Задача по Виет

[Unical]

Ако X1 и X2 са корени на x²+p.x- [tex]\frac{1}{ 2p^{2 } } [/tex]=0,p≠0.Да се докаже,че за всяко p≠0 е вярно X1⁴+X2⁴≥2+ [tex]\sqrt{2}[/tex].

[Реклама]

[dim]

[tex]x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2 =((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2(x_1x_2)^2=(p^2+\frac{1}{p^2})^2-\frac{1}{2p^4}=p^4+2+\frac{1}{p^4}-\frac{1}{2p^4}=2+p^4+\frac{1}{2p^4}\ge 2+\sqrt{2} [/tex]
защото [tex]p^4+\frac{1}{2p^4}\ge 2\sqrt{p^4.\frac{1}{2p^4}}=\sqrt{2} [/tex] за всяко [tex]p\ne 0[/tex]'

[Unical]

Последния ред не мога да го разбера. Какъв е този корен?

[_sssss]

Приложил е неравенството м/у средно-аритметично и средно-геометрично.

[mkmarinov]

Можеш и по следния начин, ако не знаеш неравенството м/у СА и СГ.
Трябва да докажеш, че [tex]p^4+\frac{1}{2p^4} \ge \sqrt{2}[/tex] за всяко p.
[tex]p^4=t>0[/tex]
[tex]2t^2-2\sqrt{2}t+1 =(\sqrt{2}t-1)^2 \ge 0[/tex]

[Unical]

Ясно.Мерси!