Регистрирайте сеРегистрирайте се

Изпит по ЛА+АГ - задачи


 
   Форум за математика Форуми -> Аналитична геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sat Nov 28, 2009 6:07 pm    Заглавие: Изпит по ЛА+АГ - задачи

Здравейте, тъй като след няколко дена ще имам изпит по ЛААГ, ще ви помоля да ми дадете няколко примерни задачки за упражнение, защото не знам откъде да си намеря. А ми се иска да не се излагам много. Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sun Nov 29, 2009 9:46 am    Заглавие:

Тъй като по АГ не са ни говорили за това, какво включва самият изпит, си позволявам да дам няколко задачи от всички изучавани дялове.

Задача 1. Да се намери равнина [tex]\epsilon[/tex], която съдържа правата

[tex]g: \, \begin{array} x=-13\lambda \\ y=-3-5\lambda \\ z=2+13\lambda \end{array}[/tex]

и е перпендикулярна на равнината [tex]\alpha: \, x-3y-z+4=0[/tex].

Задача 2. Дадени са точката [tex]M(7;8;0)[/tex] и правата

[tex]g: \, \begin{array} x=3+3\lambda \\ y=-1+4\lambda \\ z=4-\lambda \end{array}[/tex].

Да се намерят ортогоналната проекция [tex]M_{0}[/tex] на [tex]M[/tex] върху [tex]g[/tex], симетричната точка [tex]M'[/tex] на [tex]M[/tex] относно [tex]g[/tex] и разстоянието от [tex]M[/tex] до [tex]g[/tex].

Задача 3. Да се намери ъгълът между правата

[tex]g: \begin{array} x=2+3\lambda \\ y=4-4\lambda \\ z=1 \end{array}[/tex]

и равнината [tex]\epsilon: \, 2x+2y-z-1=0[/tex].

Задача 4. Точките [tex]A(0;-3;3)[/tex], [tex]B(1;-3;-4)[/tex], [tex]C(0;2;3)[/tex] и [tex]D(2;-5;-1)[/tex] са върхове на тетраедър. Да се намерят:
а) дължината на височината му през [tex]D[/tex];
б) дължината на височината на [tex]\triangle ABC[/tex] през [tex]C[/tex];
в) разстоянието между ребрата [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex];
г) ъгълът между ребрата [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex].

Задача 5. Правите

[tex]l: \, \begin{array} x=1+3\lambda \\ y=-4\lambda \\ z=1+3\lambda \end{array}[/tex]

и

[tex]m: \, \begin{array} x-y-2z+1=0 \\ 3x+2y-3=0 \end{array}[/tex]

са съответно ъглополовяща и медиана през върха [tex]A[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex]. Да се намерят координатите на [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex], ако [tex]B(3;-2;2)[/tex].

Задача 6. Даден е тетраедърът [tex]ABCD[/tex] с върхове [tex]A(1;3;-2)[/tex], [tex]B(3;5;-3)[/tex], [tex]C(-5;9;-5)[/tex] и [tex]D(4;-1;10)[/tex]. Да се намерят:
а) обемът на тетраедъра;
б) лицето на [tex]\triangle ABC[/tex];
в) дължината на височината през върха [tex]D[/tex] в [tex]ABCD[/tex].

По ЛА асистентът ни предупреди, че рядко дават детерминанти и матрици, обикновено се падали задачи върху линейни пространства.

Задача 1. Да се докаже, че ако [tex]\operatorname{dim}L=n[/tex], то за всяко естествено число [tex]m[/tex], такова, че [tex]m \le n[/tex], съществува подпространство на [tex]L[/tex] с размерност [tex]m[/tex].

Задача 2. Да се докаже, че множеството

[tex]P_{n+1}={f(x)=a_{0}x^n+a_{1}n^{n-1}+...+a_{n} | a_{i} \in F}[/tex]

на полиномите от степен, по-малка от или най-много [tex]n[/tex], с операции събиране и умножение с число е линейно пространство. Да се докаже, че векторите [tex]e_{1} =1, \, e_{2}=x, \, e_{3}=x^2, \, ..., \, e_{n+1}=x^n[/tex] са базис на [tex]P_{n+1}[/tex].

Задача 3. Да се намери рангът на матрицата [tex]\left ( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & 3 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & -4 & 7 & -1 & -4 \\ 3 & -3 & 4 & -1 & 1 \end{array} \right )[/tex].

Задача 4. Да се намери рангът на матриците в зависимост от стойностите на параметъра [tex]\operatorname{t}[/tex]:

[tex]\left ( \begin{array}{rrr} \operatorname{t} & 0 & -3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -7 & 4 \\ 7 & -2 & -16 & 10 \end{array} \right )[/tex]

и

[tex]\left ( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \operatorname{t} & 3 \\ 1 & 4 & \operatorname{t}^2 & 9 \\ 1 & 8 & \operatorname{t}^3 & 27 \end{array} \right )[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sun Nov 29, 2009 4:01 pm    Заглавие:

Още веднъж благодаря, че се отзова на молбата ми. Smile

Задача 1.
Направих система от (1;-3;1) компланарен с равнината + a(-13λ)+b(-3-5λ)+c(2+13λ)+d=0 --- изпълнено за всяко λ.
[tex]\epsilon : \; x + z - 2=0[/tex]

Задача 2.
Правим равнина с нармален вектор (3;4;-1), намираме за кое λ е пробода. M0(9;7;2). Разстоянието е MM0=3.
M'(11;6;4).

Задача 3.
[tex]\normal g \times \epsilon=A(17;-16;1)[/tex]
Имаме B(2;4;1), построяваме права през B, колинеарна с (2;2;-1) и търсим къде пресича [tex]\epsilon[/tex](B').
Ъгълът е [tex]\normal cos\varphi = \frac{\vec{AB}.\vec{AB'}}{|AB||AB'|}[/tex].
Но се получават гадни сметки. Има ли нещо по-кратко за тази задача?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sun Nov 29, 2009 4:19 pm    Заглавие:

Ъгъл между права и равнина e ъгълът между ... и ... в равнината. Отговорът е [tex]\arcsin{\frac{2}{15}}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sun Nov 29, 2009 11:00 pm    Заглавие:

Между правата и проекцията и в равнината. Нали това правя и аз.

На 5 намирам A(1;0;1), но C май не мога. Ще кажеш ли отг., за да го понаглася.

4 a)[tex]\normal t=2 \to rg=2 , \; t \ne 2 \to rg=3[/tex]
4 b)[tex]\normal t=1;2;3 \to rg=3 ; \; t \ne 1;2;3 \to rg=4[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Аналитична геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.