В квадрат е вписан друг квадрат. Единият от острите ъгли меж

[domls]

зад1. В квадрат е вписан друг квадрат. Единият от острите ъгли между станите на квадратите е алфа. При каква стойност на тангес от алфа лицето на вписания квадрат е 2/3 от лицето на описания.

зад.2 Даден е равнобедрен триъгълник АВС с основа АВ=8, и бедра АС=ВС=5. Да се намери лицето на четириъгълник АОВJ, където точка О е център на описаната, а точка J - на вписаната окръжност.

Извинявам се за означенията от задача първа- по-лесно е така

[Реклама]

[Grievery]

За зад.2:
[tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow [/tex] [tex]AH=HB=\frac{AB}{2 } =4[/tex], където [tex]H[/tex] е петата на височината към основата.
За [tex]\Delta AHC[/tex]: [tex]\cyr{PT}:[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AH^2+CH^2=AC^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4^2+CH^2=5^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CH=3cm[/tex]
Знаем, че: [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{AB.CH}{2 } =\frac{8.3}{2 } =12cm[/tex]
Търсим [tex]S_{AOBJ}[/tex]. Забелязваме, че той е съставен от два триъгълника: [tex]\Delta AOJ[/tex] и [tex]\Delta BOJ[/tex].
Разглеждаме двата триъгълника:
[tex]OJ[/tex] - обща страна
[tex]AO=BO[/tex] - точката [tex]O[/tex] лежи на симетралата на [tex]AB[/tex]
[tex]AJ=BJ[/tex] - точката [tex]J[/tex] лежи на симетралата на [tex]AB[/tex].
Виждаме, че трите страни на триъгълниците са равни помежду си [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta AOJ[/tex] е еднакъв с [tex]\Delta BOJ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{\Delta AOJ}=S_{\Delta BOJ}[/tex].
[tex]S_{AOBJ}=S_{\Delta AOJ}+S_{\Delta BOJ}=S_{\Delta AOJ}+S_{\Delta AOJ}=2S_{\Delta AOJ}[/tex]
Иначе казано, за да намерим [tex]S_{AOBJ}[/tex], трябва да намерим [tex]S_{\Delta AOJ}[/tex].
Знаем, че полупериметърът [tex]p[/tex] е равен на: [tex]\frac{1}{2 } (AC+BC+AB)=\frac{1}{2 }(5+5+8)=9cm [/tex]
Ако [tex]r[/tex] е радиусът на вписаната окръжност, то: [tex]S_{\Delta ABC}=pr[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]r=\frac{S_{\Delta ABC}}{p } =\frac{12}{9 }=\frac{4}{3 } cm [/tex]
Това всъщност е отсечката [tex]HJ[/tex].
Освен това, ако [tex]R[/tex] е радиусът на описаната окръжност, то: [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{AC.BC.AB}{4R } [/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]R=\frac{AC.BC.AB}{4S_{\Delta ABC} } =\frac{5.5.8}{ 4.12} =\frac{25}{6 }cm [/tex]
Това всъщност е отсечката [tex]OC[/tex].
[tex]OH=OC=CH=\frac{25}{6 } -3=\frac{25-18}{6 } =\frac{7}{6 } [/tex]
[tex]OJ=OH+HJ=\frac{7}{6 } +\frac{4}{3} =\frac{7+8}{6 } =2,5cm[/tex]
[tex]S_{\Delta AOJ}=\frac{OJ.AH}{2 } =\frac{2,5.4}{2 }=5cm^2 [/tex]
[tex]S_{AOBJ}=2S_{\Delta AOJ}=2.5=10cm^2[/tex]

[martin123456]

[domls]

Благодаря