Задача за квадрати

[Saposto_MM]

Нека x,y и z са естествени числа, а h е най-големият им общ делител. Ако [tex]\frac{1}{x} -\frac{1}{y}=\frac{1}{z}[/tex], то докажете, че числата
a) [tex]hxyz[/tex]
b) [tex]h\left(y-x\right)[/tex]
са точни квадрати.

[Реклама]

[martin123456]

[tex]yz-xz=xy[/tex]
нека [tex]x=hx_1[/tex],[tex]y=hy_1[/tex],[tex]z=hz_1[/tex]. равенството е еквивалентно на [tex]y_1z_1-x_1z_1=x_1y_1[/tex] и трябва да док а)[tex]h^4x_1y_1z_1[/tex] е точен квадрат <=> [tex]x_1y_1z_1[/tex] е точен квадрат, б) [tex]h^2(y_1-x_1)[/tex] е точен квадрат.
така че минаваме към нова задача: [tex]\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}[/tex], [tex](x,y,z)=1[/tex]. Докажете а)[tex]xyz[/tex] е точен квадрат б)[tex]y-x[/tex] е точен квадрат.
от а)=>б): умножаваме [tex]yz-xz=xy[/tex] с [tex]z[/tex] => [tex]z^2(y-x)=xyz[/tex]. RHS е точен квадрат, значи и [tex]y-x[/tex]. Така че доказваме само а).
нека [tex]p \in P[/tex], [tex]p|xyz[/tex]. Имаме 3 случая:
а)[tex]p^{\alpha}|yz[/tex], p не дели x, [tex]\alpha[/tex] най-високата степен на p с tова с-во
б)[tex]p^{\alpha}|xz[/tex], p не дели y, [tex]\alpha[/tex] най-високата степен на p с това с-во
в)[tex]p^{\alpha}|xy[/tex], p не дели z, [tex]\alpha[/tex] най-високата степен на p с това с-во
разглеждаме само в), понеже другите са аналогични:
[tex]p^{\alpha}|z(y-x)[/tex], [tex]p^{\alpha}|(y-x)[/tex]. ако [tex]p|y[/tex], p не дели x, то p не дели y-x. => [tex]x=p^ax_1[/tex], [tex]y=p^by_1[/tex] и [tex]a \geq 1[/tex],[tex]b \geq 1[/tex] и [tex]x_1[/tex], [tex]y_1[/tex] не се делят на p. Имаме [tex]p^{\alpha}|p^{a+b}x_1y_1[/tex]=>[tex]\alpha=a+b[/tex].
нека [tex]a>b[/tex], например. [tex]p^{\alpha}|p^b(y_1-p^{a-b}x_1)[/tex]=>[tex]p|y_1[/tex]. протоворечие. значи a=b=> [tex]\alpha[/tex] е четно. това стига.