| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
Pinetop Smith
Фен на форума
Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
  
гласове: 87
|
 Пуснато на: Fri Nov 27, 2009 9:05 pm Заглавие: Неравенство |
|
|
Ако a, b, c > 0, a + b + c = 1, то да се докаже, че
[tex]sqrt{c+ab} + sqrt{a+bc} + sqrt{b+ca} \le 2[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sat Nov 28, 2009 10:36 am Заглавие: Re: Неравенство |
|
|
| Николай.Каракехайов написа: | Ако a, b, c > 0, a + b + c = 1, то да се докаже, че
[tex]sqrt{c+ab} + sqrt{a+bc} + sqrt{b+ca} \le 2[/tex] |
Имаме [tex]a=1-b-c[/tex] =>
[tex]\sqrt{c+(1-b-c)b}+\sqrt{1-b-c+bc}+\sqrt{b+c(1-b-c)}=\\=\sqrt{(b+c)(1-b)}+\sqrt{(1-b)(1-c)}+\sqrt{(b+c)(1-c)}[/tex]
Полагаме [tex]\sqrt{b+c}=x,\;\; \sqrt{1-b}=y,\;\; \sqrt{1-c}=z[/tex] и забелязваме, че x²+y²+z²=2, откъдето неравенството е еквивалентно на
[tex]xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2[/tex], което мисля е достатъчно лесно да се сетим, че е еквивалентно на [tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0[/tex], с което сме готови.  +
Сега като се замисля може да се използва и СА-СГ:
[tex]\sqrt{(b+c)(1-b)}\le \frac{(b+c)+(1-b)}{2}[/tex] и така и за другите и като ги съберем става точно 2.
Впрочем е добре да се отбележи, че (1-b), (1-c) и (b+c) са ви интервала (0 ; 1) |
|
| Върнете се в началото |
|
|
dim
Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324
гласове: 21
|
| Пуснато на: Sat Nov 28, 2009 5:50 pm Заглавие: |
|
|
То ако става въпрос:
СА≤СК =>
[tex]sqrt{c+ab} + sqrt{a+bc} + sqrt{b+ca}\le3\sqrt{\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{3}}=\sqrt{3(1+ab+bc+ca})\le \sqrt{3.(1+\frac{1}{3})}=2[/tex], защото
[tex]ab+bc+ca\le \frac{1}{3}[/tex], което пак следва от СА≤СК и [tex]a+b+c=1[/tex].
ПП ама задачата все пак е 5-8 клас - не ни е май в категорията
Edit: Сбъркал съм буквата поради разсеяност долни потребителю. Често правя такива грешки. Но това не значи, че не знам кое какво е.
Последната промяна е направена от dim на Sat Nov 28, 2009 6:55 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
krainik
Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697
гласове: 44
|
| Пуснато на: Sat Nov 28, 2009 6:38 pm Заглавие: |
|
|
| Само да кажа на горният потребител. Н-вото, което ползваш е Средно Аритметично - Средно Квадратично, т.е СА-СК. От написаното от теб следва, че си ползва Средно Аритметично - Средно Хармонично. Казвам го, защото не бъркаш двете за 1ви път! |
|
| Върнете се в началото |
|
|
krainik
Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697
гласове: 44
|
| Пуснато на: Sun Nov 29, 2009 8:26 pm Заглавие: |
|
|
| Еми, да ти кажа вероятността да правиш една и съща грешка 2 пъти подред е доста малка. И така, Ваше Величество, не знаех, че всяка грешка, която правите е умишлена или просто от бързина - как може някой от вашия ранг да греши!? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
dim
Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324
гласове: 21
|
| Пуснато на: Sun Nov 29, 2009 8:47 pm Заглавие: |
|
|
| Нищо подобно не съм ти казвал. Даже изказах обратната теза. Ти си този който се прави на велик и иронизира другите от позицията на всезнаещ. Може би просто се опитваш да се правиш на забавен или просто на някакъв си вид шут, но от опитите ти излизат само саркастични забележки. Каквото почукало такова отговорило. Надявам се да се сетиш за какво ти говоря. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sun Nov 29, 2009 9:05 pm Заглавие: |
|
|
| dim написа: | защото
[tex]ab+bc+ca\le \frac{1}{3}[/tex], което пак следва от СА≤СК и [tex]a+b+c=1[/tex]. |
Може ли да кажеш как точно следва, защото аз го доказвам, ама не от среднo квадратично, а просто понеже
[tex]0\le (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\Leftright\\ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\Leftright \\3(ab+bc+ac)\le (a+b+c)^2\Leftright \\ab+bc+ac\le \frac{(a+b+c)^2}{3}[/tex]
Ама нещо със СА-СК не знам как ще стане.
П.П. И по-спокойно, още малко ще се сбиете.  Не че не обичам да чета простотии, ама все пак сме тук, за да помагаме и учим, а не да се караме и това важи и за двамата(май повече за крайник, защото той доста често критикува, пък било то и с повод). |
|
| Върнете се в началото |
|
|
dim
Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324
гласове: 21
|
| Пуснато на: Sun Nov 29, 2009 9:25 pm Заглавие: |
|
|
[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge \frac{(a+b+c)^2}{9}=\frac{1}{9}[/tex] ( [tex]CK\ge CA[/tex])
[tex]1-2(ab+bc+ca)\ge \frac{1}{3}[/tex]
[tex]ab+bc+ca\le \frac{1}{3}[/tex]
Не става въпрос дали има повод да критукав или не, а как го прави. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
mousehack
Напреднал
Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
гласове: 17
|
| Пуснато на: Sun Nov 29, 2009 10:00 pm Заглавие: |
|
|
Може да ссе докаже и чрез нераавенство на Маклаурин:
[tex]\frac{a+b+c}{3 }\ge \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{3 } } [/tex] след това ще повдигаме на квадрат. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
dim
Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324
гласове: 21
|
| Пуснато на: Sun Nov 29, 2009 10:08 pm Заглавие: |
|
|
Той martosss, точно това доказва - само че във вид повдигнат на квадрат.
| martosss написа: |
[tex]ab+bc+ac\le \frac{(a+b+c)^2}{3}[/tex]
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sun Nov 29, 2009 10:23 pm Заглавие: |
|
|
| mousehack написа: | Може да ссе докаже и чрез нераавенство на Маклаурин:
[tex]\frac{a+b+c}{3 }\ge \sqrt{\frac{ab+bc+ac}{3 } } [/tex] след това ще повдигаме на квадрат. |
А това неравенство само това ли гласи?  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
krainik
Фен на форума
Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697
гласове: 44
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
Меню
Регистрирайте се
