Рекурсивна дефиниция на граница

[Manwe]

Имаме редицата а_n+1=4a_n/(a_n+3). Дадено е, че а₁>0. Трябва да се докаже, че редицата е сходяща и да се намери границата и. Аз не успях да изведа обща формула. Задачата има и указание: докажете че евентуалната граница а трябва да отговаря на условието а=4а/(3+а) и че редицата е строго растяща и ограничена отгоре за 0<а₁<1 и за а₁>1 е строго намаляваща и ограничена отдолу.

[Реклама]

[martosss]

1)[tex]a_k>1\Right [/tex] прибавяме 3
[tex]\Right a_k+3>4\Right[/tex] делим на ak+3, което е положително по допускане
[tex]\Right \frac{4}{a_k+3}<1[/tex] сега умножаваме по ak, което отново е положително и получаваме
[tex]\red a_{k+1}<a_k[/tex].
Тоест аko [tex]a_1>1[/tex], то [tex]a_k>a_k+1[/tex], освен това [tex]\frac{4a_k}{a_k+3}>0[/tex], откъдето редицата е намаляваща и ограничена отдолу, откъдето

[tex]0<a_{k+1}<a_k[/tex]
а за границата не съм сигурен точно как ще трябва да се намери....
принципно имаше нещо, че ако се означи an=l, то за an+1 се получава
4l/(l+3)=l => l=0 или l=1, ама нз кое точно от двете се взима...

Ако a<1 по аналогичен начин доказваш, че [tex]a_k<a_{k+1}[/tex], ама ограничението не съм сигурен как ще го направиш, явно, че границата ще е 1

Всъщност... да де, докато имаш елементи, които са по-малки от 1, то редицата расте.
Когато елементите станат по-големи от 1, то редицата почва да намалява.
Тогава логично ще клони към 1

[Manwe]

Благодаря за бързия отговор, а можеш ли да ми дадеш и обща формула за а_n? Ако имах такава, границата щеше да е лесна. На подобни задачи изразявам а₀=х и после спрямо х определям и лимеса. Иначе горното нещо го схванах .