Първа производна

[Dark Angel]

Здравейте, ако може едно рамо за намиране на първа производна на една функция. Досега не бях попадал на такава задача и малко ме затруднява. Предварително много благодаря.
[tex] y=e^{\sqrt{x^{5}+5x}}[/tex]

Криво ляво го докарвам до тук...

[tex] y'=\frac{5x^{4}+5}{2 }*e^{{\frac{1+x^{5}+5x}{\sqrt{x^{5}+5x}}}[/tex]
...но не съм сигурен дали е вярно. Не че е толкова фатална една задача, но ме тормози и ми се иска да мога да я реша. Разменил съм местата на множителите, че не можах да се справя особено добре с Латекс.

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex]y=e^{f(x)}=>y'=f'(x)e^{f(x)}[/tex]

[Dark Angel]

[Mechanismus]

[tex]y = e^{\sqrt{x^5 + 5x}} [/tex]

[tex]lny=lne^{\sqrt{x^5 + 5x}}[/tex]

[tex]lny=\sqrt{x^5 + 5x}[/tex]

[tex]y' = e^{\sqrt{x^5 + 5x}} . \frac{1}{2\sqrt{5x^4 + 5}} [/tex]

Подходът с логаритмуването е много удобен при по-сложни изрази. Например:

[tex]y = \frac{(x+2)^2 (x+4)^3}{\sqrt[4]{x-1} } [/tex]

Ще логаритмуваш двете страни и ще ползваш, че [tex][lnf(x)]'=\frac{1}{f(x)}[/tex] . Aко някой се затрудни ще напиша пълно и подробно решение.

[genoariel]

мен ме затруднява

[Mechanismus]

Веднага го решаваме.

[tex]lny = ln \frac{(x+1)^2 (x+4)^3}{\sqrt[4]{x-1}} [/tex] (логаритмували сме двете страни с eдна и съща основа [tex]e[/tex] )

[tex]lny = 2ln(x+1) + 3ln(x+4) - \frac{1}{4 } ln(x-1)[/tex] (извършили сме означените действия с логаритми)

[tex]\frac{1}{y } y'= \frac{2}{ x+1} + \frac{3}{x+4 } - \frac{1}{4(x-1) } [/tex] (диференцирали сме двете страни като не забравяме, че и отлява [tex]lny[/tex] ще стане [tex]\frac{1}{y }[/tex] )

[tex]y'= ln \frac{(x+1)^2 (x+4)^3}{\sqrt[4]{x-1}} (\frac{2}{ x+1} + \frac{3}{x+4 } - \frac{1}{4(x-1) })[/tex] (заместили сме y с равната му стойност)

След като се поиграеш с преобразованията трябва да получиш такъв израз:

[tex]y' = \frac{(x+1)(x+4^2 (19X^2+19x-4}{4(x-1) \sqrt[4]{x+1}}[/tex]

Нещо се бъгна TeX-a, тия работи зад дробния израз накрая ги няма!

[genoariel]

много ми помогна с това решение, отхвърлих още една задача, Мерси

[Dark Angel]