Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
_sssss Фен на форума
Регистриран на: 07 Dec 2008 Мнения: 633
гласове: 50
|
Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 5:19 pm Заглавие: Задача с полином. |
|
|
[tex] \normal P(x)[/tex] е полином.
[tex] \normal P(2)=6[/tex]
[tex] \normal 2n P(n) = P(1) + P(3) + ... + P(2n-1)[/tex] за всяко естесвено n.
[tex] \normal P(2009)=?[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Dian Atanasov<T1BLD> Редовен
Регистриран на: 27 May 2009 Мнения: 132 Местожителство: ruse гласове: 2
|
Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 9:25 pm Заглавие: |
|
|
Да си призная честно не мога да решавам такъв тип задачи дедуктивно, но успях да реша задачата индуктивно. Първо се опитах да видя колко са Р(1),Р(2),Р(3),Р(5) и те са Р(1)=0, Р(2)=6, Р(3)=24, Р(5)=120 после се опитах да направя връзка между тях и да открия евентуално какво задържа полинома и видях че той е х3-х =>отговорът ми е 20093-2009 тоест 8,108,484,720
Моето решение е индуктивно =>може и да не е вярно и аз бих искал да видя нечие дедуктивно решение |
|
Върнете се в началото |
|
|
allier Начинаещ
Регистриран на: 14 Aug 2008 Мнения: 65
гласове: 6
|
Пуснато на: Tue Nov 24, 2009 2:56 am Заглавие: |
|
|
P(2x-1)=2xP(x) - 2(x-1)P(x-1), за всяко реално x.
degP = d, P(x)=a.[tex]x^{d }[/tex] + b.[tex]x^{d-1 }[/tex] ...
Сравняваме коефициентите пред [tex]x^{d }[/tex]:[tex] a.2^{d } = 2b - 2(b-(d+1).a) -> 2^{d } = 2.(d+1) -> d=3 [/tex].
P(2.1-1)=2.P(1) -> P(1)=0; P(-1)=4P(-1) -> P(-1)=0; Последния корен директно се намира, че е нула, и в крайна сметка се получава точно (x-1)x(x+1) като отговор. |
|
Върнете се в началото |
|
|
dim Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008 Мнения: 324
гласове: 21
|
Пуснато на: Tue Nov 24, 2009 11:45 am Заглавие: |
|
|
allier написа: | P(2x-1)=2xP(x) - 2(x-1)P(x-1), за всяко реално x |
Това e вярно по условие, но за [tex]x\in N[/tex]. Как го обобщи, за всяко реално x?
ПП. Сетих се защо, веднага като го написах тоя пост, но незнам защо сайтът не ми позволява да изтрия мнението си.
Браво за решението. |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Tue Nov 24, 2009 7:34 pm Заглавие: |
|
|
dim написа: | Как го обобщи, за всяко реално x? |
Може ли все пак да напишеш отговор на този въпрос? И ако може да обясниш как се прави сравнението на степените, защото не мога да се досетя нещо |
|
Върнете се в началото |
|
|
dim Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008 Мнения: 324
гласове: 21
|
Пуснато на: Wed Nov 25, 2009 12:19 am Заглавие: |
|
|
На първия ти въпрос отговорът е, че щом от двете страни на уравнението [tex]P(2x-1)=2xP(x) - 2(x-1)P(x-1)[/tex] полиномите са от едни и същи степени - примерно [tex]d[/tex] и имаме равенство за всяко [tex]x\in N[/tex], тогава можем да изберем винаги [tex]d+1[/tex] стойности на аргумента, за които равенството е в сила. Оттук следва, че е в сила и за всяко [tex]x\in R[/tex]. Мисля, че тая теорема се учи и я има по учебниците за профилирана подготовка примерно.
Относно вторият ти въпрос. Разглеждаш двете страни на полученото у-е и приравняваш коефициентите пред най-високата степен на [tex]x[/tex]. Примерно за [tex]P(2x-1)=2^dx^d+...[/tex], а от другата страна имаш [tex]2xP(x)-2(x-1)P(x-1)=2^dax^{d}+...=[/tex]
[tex]=(2ax^{d+1}+2bx^d+...)-2(x-1)(a(x-1)^d+b(x-1)^{d-1}+...)=(2ax^{d+1}+2bx^d+...)-2(x-1)(ax^d-adx^{d-1}+...+bx^{d-1}+...)=[/tex]
[tex]=(2ax^{d+1}+2bx^d+...)-(2ax^{d+1}-2adx^d+...+2bx^d+...-2ax^{d})=2a(d+1)x^d+...[/tex], ако [tex]P(x)=ax^d+bx^{d-1}+...[/tex]. Тогава като привавним коефициентите пред [tex]x^d[/tex] и съкратим на [tex]a\ne 0[/tex] получаваме [tex]2^d=2(d+1)[/tex]. Оттук [tex]d=3[/tex], единствено решение в естествени числа. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети Може да прикачвате файлове Може да сваляте файлове от този форум
|
|