Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача с полином.


 
   Форум за математика Форуми -> Алгебра
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Mon Nov 23, 2009 5:19 pm    Заглавие: Задача с полином.

[tex] \normal P(x)[/tex] е полином.
[tex] \normal P(2)=6[/tex]
[tex] \normal 2n P(n) = P(1) + P(3) + ... + P(2n-1)[/tex] за всяко естесвено n.

[tex] \normal P(2009)=?[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Dian Atanasov<T1BLD>
Редовен


Регистриран на: 27 May 2009
Мнения: 132
Местожителство: ruse
Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6Репутация: 6
гласове: 2

МнениеПуснато на: Mon Nov 23, 2009 9:25 pm    Заглавие:

Да си призная честно не мога да решавам такъв тип задачи дедуктивно, но успях да реша задачата индуктивно. Първо се опитах да видя колко са Р(1),Р(2),Р(3),Р(5) и те са Р(1)=0, Р(2)=6, Р(3)=24, Р(5)=120 после се опитах да направя връзка между тях и да открия евентуално какво задържа полинома и видях че той е х3 =>отговорът ми е 20093-2009 тоест 8,108,484,720
Моето решение е индуктивно =>може и да не е вярно Rolling Eyes и аз бих искал да видя нечие дедуктивно решение
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
allier
Начинаещ


Регистриран на: 14 Aug 2008
Мнения: 65

Репутация: 14.4
гласове: 6

МнениеПуснато на: Tue Nov 24, 2009 2:56 am    Заглавие:

P(2x-1)=2xP(x) - 2(x-1)P(x-1), за всяко реално x.

degP = d, P(x)=a.[tex]x^{d }[/tex] + b.[tex]x^{d-1 }[/tex] ...

Сравняваме коефициентите пред [tex]x^{d }[/tex]:[tex] a.2^{d } = 2b - 2(b-(d+1).a) -> 2^{d } = 2.(d+1) -> d=3 [/tex].

P(2.1-1)=2.P(1) -> P(1)=0; P(-1)=4P(-1) -> P(-1)=0; Последния корен директно се намира, че е нула, и в крайна сметка се получава точно (x-1)x(x+1) като отговор.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Tue Nov 24, 2009 11:45 am    Заглавие:

allier написа:
P(2x-1)=2xP(x) - 2(x-1)P(x-1), за всяко реално x


Това e вярно по условие, но за [tex]x\in N[/tex]. Как го обобщи, за всяко реално x?

ПП. Сетих се защо, веднага като го написах тоя пост, но незнам защо сайтът не ми позволява да изтрия мнението си.
Браво за решението.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Nov 24, 2009 7:34 pm    Заглавие:

dim написа:
Как го обобщи, за всяко реално x?

Може ли все пак да напишеш отговор на този въпрос? Rolling Eyes И ако може да обясниш как се прави сравнението на степените, защото не мога да се досетя нещо Sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Nov 25, 2009 12:19 am    Заглавие:

На първия ти въпрос отговорът е, че щом от двете страни на уравнението [tex]P(2x-1)=2xP(x) - 2(x-1)P(x-1)[/tex] полиномите са от едни и същи степени - примерно [tex]d[/tex] и имаме равенство за всяко [tex]x\in N[/tex], тогава можем да изберем винаги [tex]d+1[/tex] стойности на аргумента, за които равенството е в сила. Оттук следва, че е в сила и за всяко [tex]x\in R[/tex]. Мисля, че тая теорема се учи и я има по учебниците за профилирана подготовка примерно.

Относно вторият ти въпрос. Разглеждаш двете страни на полученото у-е и приравняваш коефициентите пред най-високата степен на [tex]x[/tex]. Примерно за [tex]P(2x-1)=2^dx^d+...[/tex], а от другата страна имаш [tex]2xP(x)-2(x-1)P(x-1)=2^dax^{d}+...=[/tex]
[tex]=(2ax^{d+1}+2bx^d+...)-2(x-1)(a(x-1)^d+b(x-1)^{d-1}+...)=(2ax^{d+1}+2bx^d+...)-2(x-1)(ax^d-adx^{d-1}+...+bx^{d-1}+...)=[/tex]
[tex]=(2ax^{d+1}+2bx^d+...)-(2ax^{d+1}-2adx^d+...+2bx^d+...-2ax^{d})=2a(d+1)x^d+...[/tex], ако [tex]P(x)=ax^d+bx^{d-1}+...[/tex]. Тогава като привавним коефициентите пред [tex]x^d[/tex] и съкратим на [tex]a\ne 0[/tex] получаваме [tex]2^d=2(d+1)[/tex]. Оттук [tex]d=3[/tex], единствено решение в естествени числа.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Алгебра Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.