Ker f на линейно преобразуване

[ironsteel]

Здравейте отново.

Първо условието на задачата,а след това моето (може би грешно) мнение как да се реши задачата.

Нека f e линейно преобразуване на R⁴ за което:

[tex] f(e_{1}) = 3e_{1} + 2e_{2} + 4e_{3} + 7e_{4} [/tex]

[tex]f(e_{2}) = 4e_{1} - 3e_{2} + 11e_{3} - 2e_{4} [/tex]

[tex]f(e_{3}) = -5e_{1} + 3e_{2} - 13e_{3} + e_{4}[/tex]

[tex]f(e_{4}) = 4e_{1} - 2e_{2} + 16e_{3} + 3e_{4}[/tex]

Да се намери ker f и да се посочи една негова база.

Според мен първо трябва да напиша матрицата на линейното преобразуване която би трябвало да се състави от координатите на дадените в условието вектори след което трябва да умножа получената матрица със матрица стълб с елементи x,y,z,t ,като резултат според мен трябва да се получи система линейни уравнения като нейните решения трябва да са Ker f.

Искам да ви помоля да ми дадете упътване ,дали е грешно това което Аз мисля ,или идея как да се реши.Не искам да ми я решите наготово искам просто да ми кажете алгоритъма за решаване на задачата.

Благодара ви предварително.

[Реклама]

[_sssss]

Ами, така е.
Ще получиш хомогенна система и решаваш.

[ironsteel]

Само един последен въпрос,значи решението на системата ще е Ker f и това ще е базата му така ли ?

Благодаря отново.

[_sssss]

Ами не точно, това е множеството от елементите, които се преобразуват в 0. Напиши какво получаваш като решение, и ще видим как стои въпросът с базата.

[nikko1]

Като решиш системата тя ще зависи от параметри. Броят на тези параметри ти определя размерността на ядрото. Общото решение се преобразува така че да стане линейна комбинация от вектори, като всеки от тях има множител различен параметър и всеки вектор е точно определен. Тези вектори са базиса. Правилния термин е базис, а не база.

[ironsteel]

Ето какво получих.Ако неизвесните са x,y,z,t

[tex] x= \frac{3}{17} z [/tex]
[tex] y = \frac{19}{17} z[/tex]
[tex] z [/tex] - параметър
[tex] t = 0 [/tex]

Което е ядрото,неговата размерност според мене е 1,а базиса е?

[_sssss]

Благодаря за забележката, nikko1. Ще го имам предвид.(в учебника ми навсякъде пише база, btw)
По задачата:
[tex]\( \frac{3}{17} \lambda ; \; \frac{19}{17} \lambda ; \; \lambda ; \; 0 \) \Rightarrow \lambda \( \frac{3}{17} ; \; \frac{19}{17} ; \; 1; \; 0 \)[/tex]

Щом всеки вектор се представя по този начин - някакво число по онова в скобите, кое според теб може да ни свърши работа?

[ironsteel]

Ми незнам,какво трябва да е изпълнено?
И 1 ли е размерноста на ядрото?

Май няма да успея да я реша напълно сам.

[_sssss]

[tex] \vec{e} = \normal \( \frac{3}{17} ; \; \frac{19}{17} ; \; 1; \; 0 \)[/tex]

Размерността е 1(имаме един параметър), вектор "e" е един. Всеки елемент от kerf може да се представи като [tex]\lambda \vec{e}[/tex].
Това ни е базис.

Може да тръгнеш и с онази табличка, дето пишем 0, 1... Сещаш ли се? Просто тук е излишно, защото бие на очи.

[ironsteel]

[_sssss]

Да.