| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
Zlatinster
Напреднал
Регистриран на: 29 Mar 2007
Мнения: 391
Местожителство: Варна
  
гласове: 3
|
 Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 5:09 pm Заглавие: Интеграли 1 |
|
|
от 54те задачи не мога да реша
[tex]\int_{}^{ }\frac{dx}{3-5x^{2}} [/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{x^{3}dx}{\sqrt[3]{5x^{4}+2} } [/tex]
[tex]\int_{}^{ } e^{x}sin(e^{x}+5)dx[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{e^{x}dx}{e^{2x}+4}[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{x^{2}+4x+5}[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{x^{2}-7x+10} [/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{\sqrt[2]{1+4x-x^{2}}}[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{sinx}[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 4:16 pm Заглавие: Re: Интеграли 1 |
|
|
| Zlatinster написа: | от 54те задачи не мога да реша
[tex]\int_{}^{ }\frac{dx}{3-5x^{2}} [/tex]
|
[tex]\int_{}^{ }\frac{dx}{3-5x^{2}}=-\int_{}^{ }\frac{dx}{5x^{2}-3}=-\int_{}^{ }\frac{dx}{(\sqrt{5}x-\sqrt{3})(\sqrt{5}x+\sqrt{3})}=(1) [/tex]
[tex]\frac{1}{(\sqrt{5}x-\sqrt{3})(\sqrt{5}x+\sqrt{3})}=\frac{A}{\sqrt{5}x-\sqrt{3}}+\frac{B}{\sqrt{5}x+\sqrt{3}}<=>[/tex]
[tex]1=A(\sqrt{5}x+\sqrt{3})+B(\sqrt{5}x-\sqrt{3})=>[/tex]
[tex]1=\sqrt{5}(A+B)x+\sqrt{3}(A-B)[/tex]=>
[tex] \begin{tabular}{|}\sqrt{5}(A+B)=0\\\sqrt{3}(A-B)=1\end{tabular}=> A=?, B=?[/tex]
[tex] (1)=-[\int \frac{Adx}{\sqrt{5}x-\sqrt{3}}+ \int \frac{Bdx}{\sqrt{5}x+\sqrt{3}}][/tex], които се свеждат до табличния интеграл:
[tex] \int \frac{du}{u}=ln|u|+C[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 4:27 pm Заглавие: Re: Интеграли 1 |
|
|
| Zlatinster написа: |
[tex]\int_{}^{ } \frac{x^{3}dx}{\sqrt[3]{5x^{4}+2} } [/tex]
|
[tex]\int_{}^{ } \frac{x^{3}dx}{\sqrt[3]{5x^{4}+2}} =\frac{1}{4}\int \frac{dx^4}{{\sqrt[3]{5x^{4}+2}}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{5}\int \frac{d5x^4}{{\sqrt[3]{5x^{4}+2}}}=\frac{1}{20}\int \frac{d(5x^4+2)}{{\sqrt[3]{5x^{4}+2}}}=\frac{1}{20}\int (5x^{4}+2)^{-\frac{1}{3}}d(5x^4+2) [/tex] - табличен интеграл:
[tex]\int u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C, n \ne -1 [/tex]
Последната промяна е направена от stflyfisher на Tue Nov 24, 2009 3:58 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 4:32 pm Заглавие: Re: Интеграли 1 |
|
|
| Zlatinster написа: | [tex]\int_{}^{ } e^{x}sin(e^{x}+5)dx[/tex]
|
[tex]\int_{}^{ } e^{x}sin(e^{x}+5)dx=\int_{}^{ } sin(e^{x}+5)de^x=\int_{}^{ } sin(e^{x}+5)d(e^x+5)=[/tex]- табличен интеграл:
[tex] \int sin udu=-cos u+C[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 4:38 pm Заглавие: Re: Интеграли 1 |
|
|
| Zlatinster написа: |
[tex]\int_{}^{ } \frac{e^{x}dx}{e^{2x}+4}[/tex]
|
[tex]\int_{}^{ } \frac{e^{x}dx}{e^{2x}+4}=\int_{}^{ } \frac{de^{x}}{e^{2x}+4}=[/tex]
[tex] e^x=t, de^x=dt[/tex]
[tex]=\int_{}^{ } \frac{de^{x}}{e^{2x}+4}= \int\frac{dt}{t^2+4}[/tex]=-табличен
[tex] \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg (\frac{u}{a})+C[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 5:34 pm Заглавие: Re: Интеграли 1 |
|
|
| Zlatinster написа: |
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{x^{2}+4x+5}[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{x^{2}-7x+10} [/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{\sqrt[2]{1+4x-x^{2}}}[/tex]
|
Тези се решават чрез Хорнерова субституция:
Интеграли от вида: [tex]\int R(x, ax^2+bx+c)dx; \int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})dx, R-[/tex]рационална функция
[tex]x=t-\frac{b}{2a}=>dx=d(t-\frac{b}{2a})=dt[/tex]
[tex]t=x+\frac{b}{2a}[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{x^{2}+4x+5}=[/tex]
[tex] x=t-\frac{b}{2a}=t-\frac{4}{2.1}=t-2, t=x+2, dx=dt[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dt}{(t-2)^{2}+4(t-2)+5}=\int_{}^{ } \frac{dt}{t^2-4t+4+4t-8+5}=\int \frac{dt}{t^2+1}=arctg t+C= arctg(x+2)+C [/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
garion
Напреднал
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 373
гласове: 13
|
| Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 5:41 pm Заглавие: Re: Интеграли 1 |
|
|
| [tex]\int_{}^{} \frac{dx}{sinx} = \int_{}^{} \frac{sinx dx}{sin^2x} = -\int_{}^{} \frac{dcosx}{1-cos^2x}[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 5:59 pm Заглавие: Re: Интеграли 1 |
|
|
| Zlatinster написа: |
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{x^{2}-7x+10} [/tex]
|
Този интеграл може да се реши и чрез Хорнеровата субституция и чрез разлагането на кв. тричлен, защото D>0.
[tex] x^2-7x+10=(x-5)(x-2)[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{x^{2}-7x+10} =\int \frac{dx}{(x-2)(x-5)}=\int \[ \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-5}\]dx=\int \frac{A}{x-2}dx+\int +\frac{B}{x-5}dx=(1)[/tex]
[tex]\frac{1}{x^{2}-7x+10} =\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x-5)}=>[/tex]
[tex] 1=A(x-5)+B(x-2)[/tex]
[tex] 1=(A+B)x-5A-2B=>\begin{tabular}{|}A+B=0\\-5A-2B=1\end{tabular}=>A=?, B=?[/tex]
(1) се свежда до два таблични интеграла :[tex] \int \frac{du}{u}=ln|u|+C[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher
Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394
гласове: 10
|
| Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 6:25 pm Заглавие: Re: Интеграли 1 |
|
|
| Zlatinster написа: |
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{sinx}[/tex] |
Може да се реши по още два начина:
I. Чрез универсалната субституция: [tex]tg\frac{x}{2}=t=>dx=\frac{2}{1+t^2}dt[/tex]
[tex] sinx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}[/tex]
[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{sinx}= \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{\frac{2t}{1+t^2}}=\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C=ln|tg\frac{x}{2}|+C[/tex]
II.[tex]\int_{}^{ } \frac{dx}{sinx}=\int_{}^{ } \frac{dx}{2sin( \frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}= \int \frac{\frac{1}{cos^2(\frac{x}{2})}}{\frac{2sin( \frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{\cos^2(\frac{x}{2})}}dx= \int \frac{\frac{1}{cos^2(\frac{x}{2})}}{\frac{sin( \frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})}}d\frac{x}{2}=\int \frac{dtg(\frac{x}{2})}{tg(\frac{x}{2})}=ln|tg(\frac{x}{2})|+C[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
Меню
Регистрирайте се
