За Кумчо Вълчо и виното...

matoshev · Начинаещ Регистриран на: 22 Nov 2009 Мнения: 1

Ето две забавни задачи, които научих от един колега.

1 задача. Имаме два съда, в първия има вино, във втория - вода. Количеството и в двата съда е еднакво. Сипваме извество количество от водата във виното, след което същото количество връщаме от съда с виното в съда с водата. Пита се: водата във виното ли е повече, или виното във водата?

2 задача. В центъра на кръгло езеро стои лодка, а в нея - Червената шапчица. На брега я дебне Кумчо Вълчо, който няма право да плува. Вълкът се движи 4 пъти по-бързо от лодката. Пита се: може ли Червената шапчица да стъпи на брега, без там да я чака Кумчо Вълчо?

Успех на всички! Предварително се извинявам, ако съм цитирал известни задачи.

Реклама

Dian Atanasov<T1BLD> · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 7:38 pm Заглавие:

за втората: представяме си езерото за окръжност, в чийто център е точка А в която е лотката, а вълкът е в произволна точка от окръжността Б и тъй като е логично, че лотката трябва да поеме по права линия, която да я отведе на другата половина на окръжността от тази на която стои вълкът тоест задачата се преобразува в това дали радиуса на окръжността е по-голям от половината от обиколката и умножена по 4 тоест дали r>2*r*π/2*4 тоест r>4*r*π което не е вярно => не може[/b]

Dian Atanasov<T1BLD> · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 7:41 pm Заглавие:

а за първата, мисля че са наравно

dim · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 7:44 pm Заглавие:

Dian Atanasov<T1BLD> · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 7:48 pm Заглавие:

е да, ако се вземе това в предвид (за което аз не се сетих) наистина аз греша, но във всеки случай дори тя да си изменя посоката и да действа спрямо вълка той пак е по-бързият и винаги ще я настига

dim · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 7:49 pm Заглавие:

Dian Atanasov<T1BLD> · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 7:56 pm Заглавие:

за първата мислих като теб, но може да има и един интересен случай, а точно когато цялото количество вода го сипваме в виното и се получава 50% вода-50% вино и когато връщаме същото количество пак ще бъдат 50% на 50% и в двата съда

dim · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 8:24 pm Заглавие:

За Пъврата задача си прав. Количествата са наистина равни. Преди малко го сметнах. Нека количеството на водата и виното в двата съда означим с [tex]V[/tex], а количеството ковето отнемаме от единия съд и после прибавяме да означим с [tex]x[/tex]. Тогава количеството на виното в [tex]x[/tex] като е смесено с водата след първата стъпка ще е [tex]x\frac{V}{V+x}[/tex]. След това като го върнем това при водата ще е пак същото количество вино. Аналогично количеството на водата във виното ше е [tex]V\frac{x}{x+V}[/tex], което ще е все същото.

Grievery · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 11:22 pm Заглавие:

В началото водата и виното са с количество [tex]V[/tex]. След като вземем от водата количество [tex]x[/tex], количеството на водата в първия съд става [tex]V-x[/tex], а във втория - общото количество (вино+вода) става [tex]V+x[/tex], от които виното е с количество [tex]V[/tex], а водата - с количество [tex]x[/tex].
Във втората стъпка вземаме количество [tex]x[/tex] от втория съд, имайки предвид отношението [tex]\frac{\cyr{vino}}{\cyr{voda} } =\frac{V}{x } [/tex], откъдето изразяваме: [tex]\cyr{voda}=\cyr{vino}.\frac{x}{V }[/tex], а [tex]\cyr{vino}=\cyr{voda}.\frac{V}{x}[/tex] . Така в първия съд имаме вода [tex]V-x[/tex] (останала след първото преливане) и още [tex]x[/tex], което е общото количество на прелетите вода и вино при втората стъпка.
Имаме, че: [tex]\cyr{vino}+\cyr{voda}=x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{vino}+\cyr{vino}.\frac{x}{V }=x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{vino}.(1+\frac{x}{V }) =x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{vino}=\frac{x}{1+\frac{x}{V } } [/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{vino}=\frac{V.x}{V+x } [/tex] - това е виното в първия съд след двете преливания.
Аналогично правим пресмятания и за водата във втория съд.
[tex]\cyr{vino}+\cyr{voda}=x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{voda}.\frac{V}{x}+\cyr{voda}=x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{voda}.(\frac{V}{x}+1)=x[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{voda}=\frac{x}{\frac{V}{x}+1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{voda}=\frac{x^2}{V+x } [/tex] - това е прелятата вода във втората стъпка. Водата, която остава във втория съд е: [tex]x-\frac{x^2}{V+x }=\frac{V.x+\cancel{x^2}-\cancel{x^2}}{V+x}=\frac{V.x}{V+x}[/tex]
Виждаме, че виното и водата са равни.
Ето конкретен пример (преливаш [tex]50%V[/tex]):
В началото водата и виното са с количество [tex]V[/tex]. След като вземем от водата количество [tex]50%V[/tex], количеството на водата в първия съд става [tex]V-50%V=50%V[/tex], а във втория - общото количество (вино+вода) става [tex]V+50%V=150%V[/tex], от които виното е с количество [tex]V[/tex], а водата - с количество [tex]50%V[/tex].
Във втората стъпка вземаме количество [tex]50%V[/tex] от втория съд, имайки предвид отношението [tex]\frac{\cyr{vino}}{\cyr{voda} } =\frac{V}{50%V }=2 [/tex], откъдето изразяваме: [tex]\cyr{voda}=\frac{\cyr{vino}}{2}[/tex], а [tex]\cyr{vino}=2.\cyr{voda}[/tex] . Така в първия съд имаме вода [tex]V-50%V=50%V[/tex] (останала след първото преливане) и още [tex]50%V[/tex], което е общото количество на прелетите вода и вино при втората стъпка.
Имаме, че: [tex]\cyr{vino}+\cyr{voda}=50%V[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{vino}+\frac{\cyr{vino}}{2}=50%V[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3}{2 } .\cyr{vino}=50%V[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{vino}=\frac{V}{\cancel{2}}.\frac{\cancel{2}}{3}=\frac{V}{3}[/tex] - това е виното в първия съд след двете преливания.
Аналогично правим пресмятания и за водата във втория съд.
[tex]\cyr{vino}+\cyr{voda}=50%V[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2.\cyr{voda}+\cyr{voda}=50%V[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]3.\cyr{voda}=50%V[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{voda}=\frac{V}{2}.\frac{1}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cyr{voda}=\frac{V}{6 } [/tex] - това е прелятата вода във втората стъпка. Водата, която остава във втория съд е: [tex]50%V-\frac{V}{6}=\frac{V}{2}-\frac{V}{6}=\frac{V}{3}[/tex]
Виждаме, че виното и водата са равни.

dim · Пуснато на: Sun Nov 22, 2009 11:59 pm Заглавие:

Като сме тръгнали с конкредни примери...

Представяме си, че имаме [tex]9l[/tex] вино и [tex]9l [/tex]вода. Вземаме [tex]1l[/tex] вода и го прибавяме към виното. Значи сега получената течност е [tex]10l[/tex]. Значи се пада по [tex]0,1l[/tex] вода на [tex]1l[/tex] вино и [tex]0,9l[/tex] вино на [tex]1l[/tex] от така получената смес. Сега вземаме [tex]1l[/tex] от тази течност и я връщаме при съда с водата. Сега в съда с водата има 0,9l вино. Ако разгледаме съда с вино пък ще установим, че има 0,9l вода, защото в съдът има [tex]9l[/tex] течност с концентрация на вода [tex]0,1[/tex](100гр на литър вино).

Grievery, къде греша и защо имам чувството, че това се разминава с твоя резултат?

ПП Прилагам същите разсъждения както в горното си мнени, но просто заменям параметрите с конкретни стойности.

mkmarinov · Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 12:06 am Заглавие:

Grievery, грешиш. Във втората стъпка не трябва да вземеш 50% от втория съд, а 30%, за да е равно количеството след нея.

Kerry · Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 12:46 am Заглавие:

Относно първата задача.
Във виното сипваме "чиста" вода, а после във водата не връщаме "чисто" вино. Следователно виното във водата е по-малко.

Втората задача доста е коментирана

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2062

Grievery · Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 3:31 pm Заглавие:

Защо да трябва да взема [tex]30%V[/tex]. Нали вземам и връщам едно и също количество?

dim · Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 3:42 pm Заглавие:

Grievery · Пуснато на: Mon Nov 23, 2009 3:49 pm Заглавие:

Съгласих се с твоето мнение, Dim, но не и с това на mkmarinov. Преливането ми е вярно - преливам толкова, колкото съм прелял и при първата стъпка (каквото е условието на задачата). Мисля, че объркването ти идва от това, че мислиш, че преливам [tex]50%[/tex] от цялата нова "смес", а аз всъщност преливам [tex]50%[/tex] от първоначалното количество, което е [tex]V[/tex]. Иначе, да, признавам си, една малка грешка и всичко отива по...