Интеграли

[Zlatinster]

[tex]\int_{}^{ } \frac{(1+2x^{2})}{x^{2}(1+x^{2})[/tex]dx

[tex]\int_{}^{ } \frac{(1+x)^{2}}{x(1+x^{2})}[/tex]dx

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Първият интеграл −

[tex]\int{\frac{1+2x^2}{x^2(1+x^2)}} \operatorname{d}x = \int{\left (\frac{\cancel {1+x^2}}{x^2\cancel {(1+x^2)}}+\frac{\cancel {x^2}}{\cancel {x^2}(1+x^2) \right ) \operatorname{d}x = \int{\left (\frac{1}{x^2}+\frac{1}{1+x^2} \right ) } \operatorname{d}x = \int{\frac{1}{x^2}} \operatorname{d}x + \int{\frac{1}{1+x^2}} \operatorname{d}x = -\frac{1}{x} + \arctan x + \operatorname{C}[/tex].

Вторият интеграл −

[tex]\int{\frac{(1+x)^2}{x(1+x^2)}} \operatorname{d}x = \int{\frac{1+2x+x^2}{x(1+x^2)}} \operatorname{d}x = \int{\left ( \frac{\cancel {1+x^2}}{x\cancel {(1+x^2)}} + \frac{2\cancel x}{\cancel x(1+x^2)} \right )} \operatorname{d}x = \int{\frac{1}{x}} \operatorname{d}x + 2\int{\frac{1}{1+x^2}} \operatorname{d}x = \ln x + 2 \arctan x + \operatorname{C}[/tex].

[Flame]

[Zlatinster]

Да ясни ми са.

[tex]\int\frac{1}{(2x-3)^{5}}dx[/tex]

[Flame]

[tex]\int\frac{1}{(2x-3)^{5}}dx= \frac{1}{2} \int\frac{1}{(2x-3)^{5}}d(2x-3)=-\frac{1}{ 2}. \frac{1}{4} .\frac{1}{(2 x-3)^4}+C[/tex]

ПП Това е: [tex] \int x^ndx[/tex]

[Spider Iovkov]

[tex]\int{\frac{1}{(2x-3)^5}} \operatorname{d}x[/tex]

Полагаме [tex]2x-3=t \Leftrightarrow x=\frac{t+3}{2} \Rightarrow \operatorname{d}x = \operatorname{d} \frac{t+3}{2} \Leftrightarrow \operatorname{d}x=\frac{1}{2} \operatorname{d}t[/tex]. Заместваме в интеграла и получаваме

[tex]\int{\frac{1}{2}.\frac{1}{t^5}} \operatorname{d}t = \frac{1}{2} \int{\frac{1}{t^5}} \operatorname{d}t = \frac{1}{2}.\frac{t^{-5+1}}{-5+1} = -\frac{1}{8t^4} + \operatorname{C}[/tex].

Оттук интегралът е равен на [tex]-\frac{1}{8(2x-3)^4} + \operatorname{C}[/tex].

П. П. Флейм ме е изпреварил.

[Zlatinster]

[tex]\int_{}^{ }\frac{dx}{3-5x^{2}} [/tex]

умножавам горе и долу по корен3 върху корен от 5
стигам до d(1-1-√5/√3)/1-(√5x/√3)²