Правоъгълен триъгълник

Methuselah

В АВС е вписана окръжност с радиус r, а СН е височина. Периметрите на АНС и ВНС са съответно Р1 и Р2. Изразете лицето на АВС.

Реклама

omeganet · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 4:42 pm Заглавие: РЕ

Не виждам връзка между заглавието (Правоъгълен триъгълник) и задачата. Да не би даденият триъгълник да е правоъгълен? Височината СН дадена ли ни е, може ли да я използваме?

Methuselah · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 4:56 pm Заглавие:

Да триъгълникът е с прав ъгъл при С. Височината не е дадена. Да се изрази лицето чрез r, P1, P2.

Relinquishmentor · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 5:14 pm Заглавие:

P_{AHC_{= AC + AH + CH

P_{BHC_{= BC + BH + CH

P_ABC = AC + BC + AH + BH = P_{AHC_{+ P_{BHC_{- 2CH

S_ABC = p.r = (P/2).r = (AC + BC + AH + BH = P_{AHC_{+ P_{BHC_{- 2CH).r/2}}}}}}}}}}}}

Relinquishmentor · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 5:16 pm Заглавие:

P_AHC = AC + AH + CH
P_BHC = BC + BH + CH

P_ABC = AC + BC + AH + BH = P_AHC + P_BHC - 2CH

S_ABC = p.r = (P/2).r = AC + BC + AH + BH = (P_AHC + P_BHC - 2CH).r/2

_______________________

Methuselah · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 5:21 pm Заглавие:

CH не е дадена за съжаление.

Relinquishmentor · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 5:43 pm Заглавие:

Хъм...това е лошо.

Methuselah · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 5:46 pm Заглавие:

Може отговорът да ви насочи нанякъде... не знам.
Ето го: (r/2)*sqrt(P1²+P2²)

uktc · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 6:41 pm Заглавие:

За лицето най-вероятно трябва да се ползва формулата S=pr. За целта трябва да изразим полупериметъра чрез P1 и P2, което аз лично не успях да направя Rolling Eyes

omeganet · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 7:32 pm Заглавие: РЕ

При стандартни означения имаме следната ситуация:

АН = b²/c
BН = a²/c
CH = ab/c

P_AHC = P₁ = ab/c + b + b²/c = b (a + b + c) / c = b.P/c
P_BHC = P₂ = ab/c + a + a²/c = a (a + b + c) / c = a.P/c

P₁ + P₂ = (a + b) . P / c
P₁ . P₂ = a.b.P² / c²

Дигаме пред последното уравнение на квадрат и получаваме:

P₁² + P₂² + 2.P₁ . P₂ = (a + b)² . P² / c²

И като заместим P₁ . P₂ във второто уравнение и ще получим каквото ни трябва - P (където P = P_ABC). После по формулата S_ABC = P . r / 2

r2d2 · Пуснато на: Mon Mar 12, 2007 7:58 pm Заглавие:

ACH - подобен на АBC с коефициент k=AC/AB=cosA. Tова значи, че всички линейни елементи на ACH се отнасят към тези на АВС с този коефициент, например P_ACH:P_ABC=cosA.
Аналогично P_BCH:P_ABC=cosB=sinA.
Тогава (P_ACH:P_ABC)^2+(P_BCH:P_ABC)^2=(cosA)^2+(sinA)^2=1 или
(P_ACH)^2+(P_BCH)^2=(P_ABC)^2.

По същия начин се доказва, че ако r1 и r2 радиусите на вписаните в ACH и BCH окръжности r1^2+r2^2=r^2 (r - радиуса на вписаната в АВС)