Регистрирайте сеРегистрирайте се

Много яки граници


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Nov 19, 2009 10:39 pm    Заглавие: Много яки граници

Пресметнете границите:

[tex](1) \, \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\tan x)^{\tan 2x}[/tex];

[tex](2) \, \lim_{x \to 0} (\frac{1 + \tan x}{1 + sin x})^{\frac{1}{sin^3 x}}[/tex];

[tex](3) \, \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 3^x}{x}[/tex];

[tex](4) \, \lim_{x \to a} \frac{\tan x - \tan a}{x - a}[/tex];

[tex](5) \, \lim_{x \to 0} (1 + 4 \tan 3x)^{\cot x}[/tex];

[tex](6) \, \lim_{x \to 0} (\frac{\tan x}{x})^{\frac{1}{x^2}}[/tex];

[tex](7) \, \lim_{x \to +\infty} (\frac{2}{\pi} \arctan x)^x[/tex].

Задачките ги намерих в стар сборник по ДИС като подготовка за едно контролно, но страшно много ми харесаха (напоследък само с граници се занимавам, Embarassed , май ми стана хоби) и реших да ги пусна. Интригуващи са, Smile .


Последната промяна е направена от Spider Iovkov на Fri Nov 20, 2009 12:42 am; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
pipi langstrump
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 24

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 12:32 am    Заглавие:

Всичките се решават по един и същ стандартен, алгоритмизиран модел - няма нищо интригуващо в тях Cool

П.П. Третата граница изобщо не съществува.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 12:38 am    Заглавие:

За третата граница в книгата даже има отговор. А кой е алгоритмизираният модел? И защо да не са интригуващи, сториха ми се хубави, Smile .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pipi langstrump
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 24

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 1:10 am    Заглавие:

След като го поправи вече може и да има.
Алгоритмизираният модел е ясен - или се използва Лопитал или се докарват границите до основни - ще дам пример, за да видиш, че наистина няма нищо интригуващо в тях. Да решим примерно третата и без това сме я захванали :

[tex]\lim_{x\to 0 }\frac{2^x - 3^x}{x} [/tex]

Ако ползваме Лопитал можем и наум да сметнем отговора - [tex]\ln\frac{2}{3}[/tex]
В другия случай малко ще се позанимаваме:

[tex] \lim_{x\to 0 }\frac{2^x - 3^x}{x} = \lim_{x\to 0 } \frac{2^x - 1}{x} - \lim_{x\to 0 } \frac{3^x - 1}{x} = \ln 2 - \ln 3 = \ln\frac{2}{3}[/tex]

Пак почти наум, ама малко по-оплетено.

П.П. Ако искаш нещо по-интригуващо, пробвай с това като за начало:

[tex]\lim_{n\to\infty } \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{ n + k} [/tex]


Последната промяна е направена от pipi langstrump на Fri Nov 20, 2009 1:20 am; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 1:18 am    Заглавие:

Другите не стават само с Лопитал, Razz , пробвай тях, Smile .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pipi langstrump
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 24

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 12:19 pm    Заглавие:

Добре, да видим например последната

[tex]\lim_{x\to\infty} \left(\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} x \right)^x[/tex]

Първа стъпка:
Когато имаме функция на степен функция винаги използваме тъждеството [tex]x = \exp \ln x , x>0[/tex] Така става

[tex]\lim_{x\to\infty} \left(\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} x \right)^x =\lim_{x\to\infty} \exp \, \ln \left(\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} x \right)^x [/tex]

Функцията [tex]e^x[/tex] като непрекъсната може да се премести зад границата, тъй че имаме


[tex]\exp \lim_{x\to\infty} x \ln \left(\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} x\right) [/tex]

Виждаме, че имаме да смятаме логаритъм, а за него знаем границата [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + f(x))}{f(x)} = 1[/tex] при [tex]\lim_{x \to 0} f(x) = 0[/tex] , тъй че всякак ще се мъчим да докараме границата до тоя вид. Най-напред, естествено трябва да получим клонене към нулата, затова полагаме x = 1/y

[tex]\lim_{y \to 0} \frac{\ln \left(\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} \frac{1}{y} \right)}{y}[/tex]

Почти достигнахме желания вид, но не съвсем. Изразът под логаритъма клони към 1, а ние искаме да получим функця, клоняща към нула. Затова


[tex]\lim_{y \to 0} \frac{\ln \left(\left(\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} \frac{1}{y} - 1\right) + 1 \right)}{y}[/tex]

Ясно е кое е f(x) тук. Значи остава само да умножим и разделим с нея, за да получим окончателния вид на границата


[tex]\lim_{y \to 0} \frac{\ln \left(\left(\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} \frac{1}{y} - 1\right) + 1 \right)}{\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} \frac{1}{y} - 1} \lim_{y \to 0} \frac{\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} \frac{1}{y} - 1}{y} [/tex]

Сега остава да намерим границата

[tex]\lim_{y \to 0} \frac{\frac{2}{\pi }\operatorname{arctg} \frac{1}{y} - 1}{y}[/tex]

Знаем основната граница [tex]\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1[/tex] и трябва да се възползваме от нея. За целта полагаме [tex]\operatorname{arctg} \frac{1}{y} = x[/tex] , от което получаваме:

[tex]\lim_{x \to \frac{\pi }{2}} \left({\frac{2}{\pi}x - 1 \right) \operatorname{tg} x [/tex]

Сега полагаме [tex]x - \frac{\pi}{2} = y[/tex]


[tex]-\lim_{y \to 0} \frac{ \frac{2}{\pi}y}{\operatorname{tg}y }[/tex]

Следователно отговорът е [tex]e^{-\frac{2}{\pi} }[/tex]

Както виждаш - само следваш алгоритъма и търсиш навсякъде основните граници. Нищо сложно няма, никакво особено въображение не изисква. Дано съм ти бил полезен Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
pipi langstrump
Начинаещ


Регистриран на: 15 Feb 2009
Мнения: 24

Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8Репутация: 4.8
гласове: 1

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 12:31 pm    Заглавие:

Казваш, че се кефиш на граници; сега ще ти дам една граница, която да решиш без лопитал:

[tex]\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left( \sqrt[n]{1+x} - 1 - \frac{x}{n} + \frac{n-1}{2n^2}x^2 \right)[/tex]

n е естествено число
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.