Регистрирайте сеРегистрирайте се

Докажете


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Николай Ставрев
Начинаещ


Регистриран на: 21 Apr 2009
Мнения: 13
Местожителство: Сливен
Репутация: 2.4Репутация: 2.4

МнениеПуснато на: Thu Nov 19, 2009 4:56 pm    Заглавие: Докажете

Нека [tex]a,b,c[/tex] са положителни числа, такива че [tex]a+b+c=15[/tex].Да се докаже, че [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2} \ge 75[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Thu Nov 19, 2009 5:03 pm    Заглавие:

Само Средно Квадратично - Средно Аритметично и си готов.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Nov 19, 2009 8:30 pm    Заглавие:

Представяш 75 като 15²/3 и сега имаш
[tex]a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c)^2}{3}[/tex]
Сега това е еквивалентно на
[tex]2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ac)[/tex]
То, от своя страна, е еквивалентно на
[tex](a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2\ge 0[/tex].
Горното е изпълнено за всякакви реални числа, откъдето задачата е решена
Оттук следва, че задачата е в сила дори за отрицателни числа Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Thu Nov 19, 2009 8:38 pm    Заглавие:

СК–СА също е в сила и за отрицателни числа...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Николай Ставрев
Начинаещ


Регистриран на: 21 Apr 2009
Мнения: 13
Местожителство: Сливен
Репутация: 2.4Репутация: 2.4

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 4:34 pm    Заглавие:

Аз предлагам следното. За функцията [tex]f(\gamma)=\gamma^{2}[/tex] имаме [tex]f''(\gamma)=2 [/tex] т.е функцията е изпъкнала, тогава имаме [tex]\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3} \ge f(\frac{a+b+c}{3})[/tex] , а именно [tex]\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3} \ge f(5)=25[/tex] т.е [tex]f(a)+f(b)+f(c) \ge 75[/tex]
Аналогично се доказва и обощеният вид на неравенството
[tex]\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{n} \ge \frac{(\sum_{i=1}^{n} a_{i})^{n} }{n^{n-1} } [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 5:47 pm    Заглавие:

А това [tex]\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3} \ge f(\frac{a+b+c}{3})[/tex] откъде го взимаш. Ако го използваш поне може да се обосновш и да кажеш, че следва от неравнство на Йенсен примерно. Изобщо не изглежда толкова очебийно като горните решения. В крайна сметка това е просто СX≥СА.

Edit: Специално за долният потребител


Последната промяна е направена от dim на Sat Nov 28, 2009 7:44 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Fri Nov 20, 2009 8:17 pm    Заглавие:

Николай Ставрев написа:

Аналогично се доказва и обощеният вид на неравенството
[tex]\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{n} \ge \frac{(\sum_{i=1}^{n} a_{i})^{n} }{n^{n-1} } [/tex]
Прилагаме средно степенно - средно аритметично:
[tex]\sqrt[n]{\frac{\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{n} }{n}} \ge \frac{(\sum_{i=1}^{n} a_{i})}{n}[/tex]. Вдигаме на степен [tex]n[/tex] и получаваме горното. Според мен трябва да наблегнеш на средните, а не да се хвърляш на тежките методи като Йенсен.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.