Докажете

[Николай Ставрев]

Нека [tex]a,b,c[/tex] са положителни числа, такива че [tex]a+b+c=15[/tex].Да се докаже, че [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2} \ge 75[/tex]

[Реклама]

[krainik]

Само Средно Квадратично - Средно Аритметично и си готов.

[martosss]

Представяш 75 като 15²/3 и сега имаш
[tex]a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c)^2}{3}[/tex]
Сега това е еквивалентно на
[tex]2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ac)[/tex]
То, от своя страна, е еквивалентно на
[tex](a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2\ge 0[/tex].
Горното е изпълнено за всякакви реални числа, откъдето задачата е решена
Оттук следва, че задачата е в сила дори за отрицателни числа

[krainik]

СК–СА също е в сила и за отрицателни числа...

[Николай Ставрев]

Аз предлагам следното. За функцията [tex]f(\gamma)=\gamma^{2}[/tex] имаме [tex]f''(\gamma)=2 [/tex] т.е функцията е изпъкнала, тогава имаме [tex]\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3} \ge f(\frac{a+b+c}{3})[/tex] , а именно [tex]\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3} \ge f(5)=25[/tex] т.е [tex]f(a)+f(b)+f(c) \ge 75[/tex]
Аналогично се доказва и обощеният вид на неравенството
[tex]\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{n} \ge \frac{(\sum_{i=1}^{n} a_{i})^{n} }{n^{n-1} } [/tex]

[dim]

А това [tex]\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3} \ge f(\frac{a+b+c}{3})[/tex] откъде го взимаш. Ако го използваш поне може да се обосновш и да кажеш, че следва от неравнство на Йенсен примерно. Изобщо не изглежда толкова очебийно като горните решения. В крайна сметка това е просто СX≥СА.

Edit: Специално за долният потребител

[krainik]