Тригонометрично уравнение с параметър

[Nona]

Намерете стойностите на параметъра а, при които уравнението

2sin²x=3cos x . cos(a-x)

има решение.

Отговор: cos a ≥-1/3

[Реклама]

[Nona]

Никой ли не може да я реши?

[omeganet]

Ето ти примерно решение. Ще използвам следните формули:
cosA . cosB = 1/2 . ( cos(A-B) + cos(A+B) )
cos2A = 1 - 2 . sin²A
cos(A-B) = cosA . cosB + sinA . sinB

2 . sin²x = 3/2 . ( cos(A - 2x) + cosA )
2 . (1 - cos2x) = 3 . ( cosA . cos2x + sinA . sin2x + cosA )
2 - 2 . cos2x = 3 . cosA . cos2x + 3 . sinA . sin2x + 3 . cosA
(2 + 3.cosA) . cos2x + 3.sinA . sin2x = 2 - 3.cosA | : √( (2+3.cosA)² + (3.sinA)²)

Полагаме: (можем ли?)
(2 + 3.cosA) / √(12.cosA - 13) = cosB
(3.sinA) / √(12.cosA - 13) = sinB

cosB . cos2x + sinB . sin2x = 2 - 3.cosA
cos(B - 2x) = 2 - 3.cosA
cos(B - 2x) е в интервала [-1; 1] => 2 - 3.cosA трябва да е от същия интервал.

[ianikia]

Omeganet, забравяш, че трябва и дясната страна на уравнението да разделиш на този корен.
Като начин става, но ще се получи сложна с-ма от неравенства за решаване.
По-просто ми се струва следното решение:
2sin²x=3.cos x.cos(a-x) (1)
2sin²x=3.cos x(cos a.cos x+sin a. sin x) /:cos²x
(При делението няма да загубим корени, защо?)
Пол. sin x / cos x =tg x=y
2y²-3 sin a.y-3 cos a=0
Уравнението tg x=y има решение за всяко у. Тогава, за да има решение (1), трябва и кв. уравнение да има решение, т.е. D>=0.
9 sin²a+24 cos a>=0
3(1-cos²a)+8 cos a>=0
3 cos²a-8 cos a-3<=0
Пол. cos a=z, z E [-1;1]
|3z²-8z-3<=0
|z E [-1;1]

|z E [-1/3;3]
|z E [-1;1]
Получ. z E [-1/3;1]
|cos a>=-1/3
|cos a<=1
Второто неравенство е изпълн. за всяко а
=>(1) има решение за всяко а, за което cos a>=-1/3

[Nona]

Благодаря

[r2d2]

Мисля, че е по-добре да не се дават отговори. Де на изпит да ги даваха!