Регистрирайте сеРегистрирайте се

Граница на сума 1/3^n


 
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Manwe
Начинаещ


Регистриран на: 16 Nov 2009
Мнения: 8


МнениеПуснато на: Tue Nov 17, 2009 8:56 pm    Заглавие: Граница на сума 1/3^n

Дадени са следните редици:

аn+1= аn/3 +1
bn+1= 2bn-1

като а0 и b0 са реални числа. Трябва да се провери дали редиците са сходящи и в случай че са, да се даде границата им. За втората докарвам формула bn=2n(y-1)+1 => lim ще зависи от у (b0 го взимам за у). Обаче за първата получавам нещо интересно:
an=x/3n +∑1/3n. Като си гледам формулките виждам, че са ми доказали че ∑1/k^2 сходяща (при това клони към ∏2/6, ама доказването на самата граница било тежко), следователно мойто ∑1/3n също трябва да е сходящо. Някакви идеи? Не съм сигурен че общите формули са верни, така че ако не са, понасям критика Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin123456
Фен на форума


Регистриран на: 23 Oct 2009
Мнения: 533

Репутация: 33.9Репутация: 33.9Репутация: 33.9
гласове: 15

МнениеПуснато на: Wed Nov 18, 2009 11:57 am    Заглавие: Re: Граница на сума 1/3^n

1) забелязваме, че
an+1 > an <=> an < 3/2
an+1 < 3/2 <=> an < 3/2
нека а0 < 3/2 => редицата расте и ограничен отгоре от 3/2 значи сходяща с граница l=l/3 +1, l=3/2
др алучай за а0 е аналогичен

2) bn+1 > bn <=> bn > 1
bn+1 > 1 <=> bn > 1
разглеждаме следните случаи
b0 = 1 +x, x в (0,1). нека 1/2n+1 ≤ 1/2n. лесно се извежда че bn = 2nx +1 и така по индукция bn+k > 2к-1 +1, т.е неограничена редица

другото е аналогично
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Natali lubitel
Начинаещ


Регистриран на: 15 Sep 2009
Мнения: 49

Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5Репутация: 8.5
гласове: 5

МнениеПуснато на: Wed Nov 18, 2009 11:59 am    Заглавие:

За редицата [tex] b_{n+1}=2b_{n}-1 [/tex] , ако има граница B , то от рекурентната зависимост се получава B=2B-1 ,т.е. B=1 . Нека [tex] b_{1}=b , b_{2}=2b-1 [/tex]
Тогава [tex] b_{2}-b_{1}=b-1 >0 [/tex] ,ако b>1 . По индукция се доказва,че това неравенство е изпълнено за всеки член на редицата . Да допуснем,че
[tex]b_{n}>1[/tex] ,тогава [tex] b_{n+1}=2b_{n}-1>2.1-1=1 [/tex] Следователно неравенството е вярно за всяко n - ест. число.
[tex] b_{n+1}-b_{n}=b_{n}-1>0 [/tex] . Значи при b>1, редицата е монотонно растяща и ако допуснем ,че сходяща,тя трябва да има граница 1 ,и членовете и не могат да са по-големи от 1. Ако b=1 ,то всички други членове на редицата са равни на 1 т.е.
1,1,...,1... и тя има граница 1. Ако b<1 с аналогични на горните разсъждения се вижда ,че членовете на редицата са < 1 и тя е монотонно намаляваща, значи ограничена от горе. Следователно е сходяща и има граница 1.
За редицата [tex] a_{n+1}=\frac{a_{n}}{ 3}+1 [/tex] , ако [tex] a_{1}=a [/tex] ,като се използва същия метод се вижда ,че има граница [tex] \frac{3}{ 2} [/tex] при
[tex] a\le \frac{3}{ 2}[/tex] и няма граница за [tex] a>\frac{3}{2 } [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Граници на редици и функции Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.