Граници

[stflyfisher]

Да се пресметнат границите, ако те съществуват:

1). [tex] \lim_{x \to -\infty }\frac{\sqrt{x^2+1}+2x}{\sqrt[3]{x^2-x-1}-\sqrt[4]{x^4+1} [/tex]

2). [tex] \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{\sqrt{1-cos x}}[/tex]

[Реклама]

[mathinvalidnik]

по втората: [tex]lim\frac{sinx}{\sqrt{1-cosx} } =lim\frac{\sqrt{(1-cos^{2}x)} }{\sqrt{1-cosx} }=lim\frac{\sqrt{(1-cosx)(1+cosx)} }{\sqrt{1-cosx} }=lim\frac{\sqrt{1-cosx}.\sqrt{1+cosx} }{\sqrt{1-cosx} }=lim\sqrt{1+cosx}...[/tex]

[ганка симеонова]

Имаш грешка и то съществена.
[tex]sinx\ne \sqrt{1-cos^2x} [/tex], ако [tex]sinx< 0[/tex]
[tex]\sqrt{1-cos^2x}=|sinx|[/tex]
Направи лява и дясна граници и виж, че са различни. Тогава границата не съществува.

[mathinvalidnik]

[martosss]

[tex]\right \ne =[/tex]
А за първата би трябвало да е -3 - вадим х горе и долу пред скоба и съкращаваме, после граничен преход и остава (1+2)/(-1)

[mkmarinov]

[Flame]

2). [tex] \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{\sqrt{1-cos x}}[/tex]
---------------------------------------------------------------------
Знаем че: Асимптотичната функционална замяна при [tex]x\to 0[/tex] е:
[tex]\sin{x}\approx x[/tex]
[tex]\cos{x}\approx 1[/tex]
Всичко това е добре само, че това не ни върши работа в случая.
Това са и първите членове в Тейлъровото развитие на тези функций.
В случая, за да се оцени разлика между двете асимптотики ще е необходимо да вземем още един член от Тейлъровото развитие.
[tex]\sin{x}\approx x+0[/tex]
[tex]\cos{x}\approx 1-\frac{x^2}{2}[/tex]
[tex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{\sqrt{1-\cos{x}}}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{ \sqrt{1-(1-\frac{x^2}{2} )}}= \lim_{x\to 0}\frac{x}{ \sqrt{\frac{x^2}{2} }}=\lim_{x\to 0}\sqrt{2}.\frac{x}{x}= \sqrt{2}[/tex]

[martosss]

Добре, ако х е близо до 0, само че отрицателно, тогава границата не става ли -√2?

[ганка симеонова]

[Flame]

Е добре, намерил съм само едното решение очевидно функцията има лява и дясна граница, които съществуват и са различни [tex] \mp \sqrt{2}[/tex]

[ганка симеонова]

[stflyfisher]

[tex]...\lim_{x\to 0}\frac{x}{ \sqrt{\frac{x^2}{2} }}=\lim_{x\to 0}\sqrt{2}.\frac{x}{\sqrt{x^2}}= \lim_{x\to 0}\sqrt{2}.\frac{x}{|x|}=>[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0, x>0}\sqrt{2}.\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to 0, x>0}\sqrt{2}.\frac{x}{x}=\sqrt{2}[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0, x<0}\sqrt{2}.\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to 0, x<0}\sqrt{2}.\frac{x}{-x}= -\lim_{x\to 0, x<0}\sqrt{2}.\frac{x}{x}=-\sqrt{2}[/tex]

Тъй като:

[tex]sqrt{2}=\lim_{x\to 0, x>0}\sqrt{2}.\frac{x}{|x|}[/tex] [tex] \ne \lim_{x\to 0, x<0}\sqrt{2}.\frac{x}{|x|}=-sqrt{2}=> [/tex]

[tex]\not \exist \lim_{x\to 0} \frac{sin x}{sqrt{1-cosx}}[/tex]

Разбира се, че и казаното от Ганка Сименонова и нейното решение е правилно, но без да се изпозлват еквивалетни функции и без да се използва развитието на функциите по формулата на Тейлър. Все пак задачата съм я поставил в подфорума "Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти".

Ето и моeто решение:

[tex] \lim_{x \to 0} \frac{sin x}{\sqrt{1- cos x}}= \lim_{x \to 0}\frac{2sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{\sqrt{1-1+2sin^2(\frac{x}{2})}}= \lim_{x \to 0}\frac{2sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{\sqrt{2sin^2(\frac{x}{2})}}= \lim_{x \to 0}\frac{2sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{\sqrt{2}\sqrt{sin^2(\frac{x}{2})}}=sqrt{2}\lim_{x \to 0}\frac{sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{|sin(\frac{x}{2})|}=>[/tex]

[tex]sqrt{2}\lim_{x \to 0, x>0}\frac{sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{|sin(\frac{x}{2})|}=sqrt{2}\lim_{x \to 0, x>0}\frac{sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{sin(\frac{x}{2})}=sqrt{2}\lim_{x \to 0, x>0}cos (\frac{x}{2})=sqrt{2}[/tex]

[tex]sqrt{2}\lim_{x \to 0, x<0}\frac{sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{|sin(\frac{x}{2})|}=sqrt{2}\lim_{x \to 0, x>0}\frac{sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{-sin(\frac{x}{2})}=-sqrt{2}\lim_{x \to 0, x>0}cos (\frac{x}{2})=-sqrt{2}[/tex]

[tex]=>sqrt{2}=sqrt{2}\lim_{x \to 0, x>0}\frac{sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{|sin(\frac{x}{2})|}[/tex] [tex]\ne sqrt{2}\lim_{x \to 0, x<0}\frac{sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{|sin(\frac{x}{2})|}=-sqrt{2}=>[/tex]

[tex] \not \exist sqrt{2}\lim_{x \to 0}\frac{sin (\frac{x}{2})cos (\frac{x}{2})}{|sin(\frac{x}{2})|}= \lim_{x \to 0} \frac{sin x}{\sqrt{1- cos x}}[/tex]

[stflyfisher]

Виждам, че има интерес и ще пусна още малко граници:

1).[tex] \lim_{x \to +\infty }(\sqrt[3]{x^3+2x^2}-\sqrt{x^2-2x})[/tex]

2).[tex] \lim_{x \to -\infty }(\sqrt[3]{x^3+2x^2}-\sqrt{x^2-2x}) [/tex]

1) и 2) много си приличат, но...

3). [tex] \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}( - \frac{1}{cos x}+ tg x)[/tex]

4).[tex] \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}[( sqrt{2}-2cosx).\frac{1}{{sin(x-\frac{\pi}{4})}}][/tex]

5). [tex] \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{cosx}-\sqrt[3]{cos x}}{sin^2x}[/tex]

[mkmarinov]

1)
[tex]\sqrt[3]{x^3+2x^2}-\sqrt{x^2-2x}=x(\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}})=\frac{2(\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}-\sqrt{1-\frac{2}{x}})}{\frac{2}{x}}[/tex]
[tex]\frac{2}{x}=t, t \to 0^+[/tex]
[tex]\lim_{t \to 0^+}2\frac{\sqrt[3]{1+t}-\sqrt{1-t}}{t}=2\lim_{t \to 0^+}\frac{\frac{1}{3(1+t)^{\frac{2}{3}}}+\frac{1}{2(1-t)^{\frac{1}{2}}}}{1}=\frac{5}{3}[/tex]

На втората... намалява неограничено?

3)
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{sinx-1}{cosx}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{2tg(\frac{x}{2})-1-tg^2(\frac{x}{2})}{1-tg^2(\frac{x}{2})}[/tex]
[tex]tg(\frac{x}{2})=t; t \to 1[/tex]
[tex]\lim_{t \to 1}\frac{2t-1-t^2}{t-1}=-\lim_{t \to 1}\frac{(t-1)^2}{t-1}=-\lim_{t \to 1}(t-1)=0[/tex]

[martosss]

Ето и моите варианти:
1) [tex]\frac{5}{3}[/tex] както мкмаринов
2) [tex]-\infty[/tex]... както мкмаринов се е поправил
5) получавам [tex]-\frac{1}{12}[/tex] Полагаме [tex]\sqrt[6]{\cos x}=t[/tex] и получаваме

[tex]\lim_{t\right 1}\frac{t^3-t^2}{1-t^{12}}=\lim_{t\right 1}\frac{t^2(1-t)}{(t-1)(t^2+t+1)(t^3+1)(t^6+1)}=\frac{-1}{3*2*2}=\frac{-1}{12}[/tex]

П.П. на 3-та съм съгласен с метода на мкмаринов, 4-та би трябвало да стане по същия начин

[mkmarinov]

Друга идея за 4:
[tex]\sqrt{2}-2cosx=2(\frac{\sqrt{2}}{2}-cosx)=2(cos(\frac{\pi}{4})-cosx)=4sin(\frac{\frac{\pi}{4}+x}{2})sin(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2})[/tex]
[tex]sin(x-\frac{\pi}{4})=2sin(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2})cos(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2})[/tex]
[tex]\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{4sin(\frac{\frac{\pi}{4}+x}{2})sin(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2})}{2sin(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2})cos(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2})} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{2sin(\frac{\frac{\pi}{4}+x}{2})}{cos(\frac{x-\frac{\pi}{4}}{2})}=\sqrt{2}[/tex]

[stflyfisher]

Всички отговори са верни . И решенията са добри.

Само с една забележка за това решение, което не означава, че не е вярно,:

[martosss]

Аз принципно това го реших като рационализирах числителя, нещо много тежко по своята същност в конкретния пример, но даващо резултат

[stflyfisher]